2016届高考数学考点专项突破复习讲义：不等式的求解与证明（PDF版）.pdf

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不等式的求解与证明教师：苗金利 不等式的求解与证明一、知识热点及复习策略1．不等式是高中数学的工具。不等式性质是不等式理论的基本内容，应准确地认识、运用基本性质，并能举出适当反例，辨别真假命题。2．解不等式的要求较高，是求函数的定义域、值域、参数的取值范围的主要手段，与等式变形并列的“不等式的变形”是研究数学的基本手段之一，解不等式的试题中，含字母参数的不等式较多，需要对字母参数进行分类讨论，一般地，在不等式两端乘除一个含参数的式子时，需讨论这个式子的正、负、零情况；在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，需对它们的底数进行讨论；当解集的边界值含参数时，应对零值的顺序进行讨论。3．证明不等式是数学的重要课题，也是分析、解决其他数学问题的基础。证明不等式有三种基本方法：a（1）比较法：作差比较。根据ab−>⇔>0ab；作商比较，当b>0时，ab>⇔>1。比b较法是证明不等式的基本方法也是最主要的方法，有时根据题设可转化为等价问题的比较（如幂，方根等）（2）分析法：从求证的不等式出发，寻找使不等式成立的充分条件。对于思路不明显，感到无从下手的问题，宜用分析法探究证明途径。（3）综合法：从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形（恒等变形或不等变形）推导出要证明的不等式。二、例题分析21．解关于x的不等式(2x−+−>−∈1)axaxa(52)3(1)(R).222．已知不等式ax++>bxc0的解为−31<∈2(k1)xk20(kR).xa−4．解关于x的不等式≤∈0(aR).2xx−−34+5．设abc,,∈R，证明：abc++（1）ababannn+≥−−∗11+ban()∈N；（2）abcabc≥()abc3.-第2页- 6．设n∈N且n>1，求证：log(n+1)>log(n+2).nn+11127．设xy,0≥，求证：()()x+++≥+yxyxyyx.24+2228．已知a，b∈R且a+b=1，求证：ax+by≥(ax+by).9．求函数值域：fxx()=−++123x.-第3页- 不等式练习题1．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（）A．p:ac+＞b+dq:a＞b且c＞dxB．p:a＞1,b>1q:fxaba()=−>(0，且a≠1)的图象不过第二象限2C．p:x=1q:x=xD．p:a＞1q:fx()log(=>≠xa0，且a1)在(0,+∞)上为增函数a2．“acbd+>+”是“ab>且cd>”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3．已知a，b，c，d为实数，且c＞d.则“a＞b”是“a－c＞b－d”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件224．01<<+ba，若关于x的不等式()x−b＞()ax的解集中的整数恰有3个，则（）A．−<<10aB．01。则“ab>”是“acbd−>−”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C．充要条件D.既不充分也不必要条件w.w.w.k.s.5.u.c.o.m26．不等式x+−−≤−313xaa对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．(,1−∞−][∪4,)+∞B．(,2−∞−][∪5,)+∞w.w.w.k.s.5.u.c.o.mC．[1,2]D．(,−∞1][∪2,)+∞7．不等式2x−1−x−2<0的解集为..-第4页- 参考答案（全）例题221．原式可化为(2aaxaa+−>+−53)23(2aaxaa−+>+−1)(3)(3)(1)1⎧⎫a−1分类：①当aa><或−3时，原式解为⎨⎬xx|>2⎩⎭21a−17②当a=时，原式为0>−，解为R241⎧⎫a−1③当−<<3a时，解为⎨⎬xx|<2⎩⎭21a−④当a=−3时，原式为00>，解为∅⎧a<0⎧c>0⎪⎪⎪⎪⎪b⎪a12．由已知得⎨−=−+31∴⎨=−⎪a⎪c3⎪c⎪b2=−×31=−⎪⎩a⎪⎩c32⎛⎞⎛⎞abba原式为xx+++−<⎜⎟⎜⎟60⎝⎠⎝⎠cccc2⇔−−<⇔−xx20{xx1<<2}3．（1）k=0时，220x+>，解为{xx>−1}2（2）k≠0时，Δ=4(kk−1)−4(k+2)=4(14)−k1①k>时，Δ<0，解为R41②k=时，Δ=0，解为{xx≠−3}41⎪⎧kk−+−114kk−−−114⎪⎫③0<0，解为⎨xx><或x⎬4⎪⎩⎭kk⎪⎧⎫⎪⎪kk−+−114kk−−−114④k<0时，Δ>0，解为⎨⎬xx<<⎪⎪⎩⎭kkxa−4．≤0(4xx−+)(1)-第5页- 分类：①a>4时，列表，解为(,−∞−1)4∪(,a]⎧x−40≠⎪②a=4时，原式为⎨1，解为{xx<−1}≤0⎪⎩x+1③−<<14a时，列表，解为(,−∞−1),∪[a4)⎧x+10≠⎪④a=−1时，原式为⎨1，解为(,−∞−1)(1∪−,4)≤0⎪⎩x−4⑤a<−1时，，解为(−∞,(1,a]∪−4)nnn−−−111nnn−1n−1n−15．（1）()ababa+−(+b)()()()=aabbbaabab−+−=−(−)nn−11−nn−−11①ab>>0时，ab>，则()aba−−>(b)0nn−11−nn−−11②0<(b)0nn−11−nn−−11③ab=>0时，ab=，则()aba−−=(b)0nn−−11∀a、ba>−−≥0,(b)(ab)0∴左右≥（2）abc222abc−−bac−−cab−−abac−−babc−−cacb−−abc+++=⋅⋅=⋅⋅abcabc333333333abc++()abc3ab−bc−−caab−−−−−−acbabccacb⎛⎞⎛⎞⎛⎞abc333=⋅⋅⋅⋅⋅=aabbcc333333⎜⎟⎜⎟⎜⎟⋅⋅⎝⎠⎝⎠⎝⎠bcaab−aa−b⎛⎞a3①ab>>0,1,>>∴0,⎜⎟>1bb3⎝⎠ab−aa−b⎛⎞a3②0,<1bb3⎝⎠ab−aa⎛⎞3③ab=>0,1,=∴⎜⎟=1bb⎝⎠ ab−⎛⎞a3∴∀a,b>0，有⎜⎟≥1⎝⎠bbc−⎛⎞b3同理∀b,c>0，有⎜⎟≥1⎝⎠cca−⎛⎞c3同理∀a,c>0，有⎜⎟≥1⎝⎠aab−−−bcca⎛⎞⎛⎞⎛⎞abc333∴⋅⋅≥1⎜⎟⎜⎟⎜⎟∴≥左右⎝⎠⎝⎠⎝⎠bca2log(2nn++)⎡⎤log(2)l+ognnn++11n+16．=+log(nn2)log⋅⇔−+−<(1a)2xbxb0解之得⎧−bb<)⎪⎪aa−+11⎨⎪bb<