高中数学 坐标系高考题集合详解.doc

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　坐标系1．(2015·江西卷)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为(　　)A．ρ＝，0≤θ≤B．ρ＝，0≤θ≤C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤解析　由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，y＝1－x可得ρsinθ＝1－ρcosθ，即ρ＝，再结合线段y＝1－x(0≤x≤1)在极坐标系中的情形，可知θ∈。因此线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为ρ＝，0≤θ≤。故选A。答案　A2．(2015·安徽皖北协作区联考)在极坐标系中，点到圆ρ＝－2cosθ的圆心的距离为(　　) A．2B.C.D.解析　在直角坐标系中，点的坐标即(1，－)，圆ρ＝－2cosθ的方程为x2＋y2＝－2x，即(x＋1)2＋y2＝1，圆心坐标是(－1,0)，所以点到圆ρ＝－2cosθ的圆心的距离为＝，故选D。答案　D3．(2015·北京西城一模)在极坐标系中，过点且与极轴平行的直线方程是(　　)A．ρ＝2B．θ＝C．ρcosθ＝2D．ρsinθ＝2解析　极坐标为的点的直角坐标为(0,2)，过该点且与极轴平行的直线的方程为y＝2，其极坐标方程为ρsinθ＝2，故选D。答案　D4．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sinx的方程变为________。解析　∵∴代入y＝sinx得y′＝3sin2x′。答案　y′＝3sin2x′5．(2015·天津卷)在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sinθ 和直线ρsinθ＝a相交于A，B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为________。解析　由ρ＝4sinθ可得ρ2＝4ρsinθ，所以x2＋y2＝4y。所以圆的直角坐标方程为x2＋y2＝4y，其圆心为C(0,2)，半径r＝2；由ρsinθ＝a，得直线的直角坐标方程为y＝a，由于△AOB是等边三角形，所以圆心C是等边三角形OAB的中心，若设AB的中点为D(如图)。则CD＝CB·sin30°＝2×＝1，即a－2＝1，所以a＝3。答案　36．(2015·安徽卷)在极坐标系中，圆ρ＝8sinθ上的点到直线θ＝(ρ∈R)距离的最大值是________。解析　圆ρ＝8sinθ化为直角坐标方程为x2＋y2＝8y，即x2＋(y－4)2＝16。故其圆心为(0,4)，半径r＝4。直线θ＝(ρ∈R)化为直角坐标方程为y＝xtan＝x。故圆心到直线y＝x的距离d＝＝2。所以圆上的点到直线y＝x距离的最大值为d＋r＝6。答案　6 7．已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ。(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ≤2π)。解　(1)将消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0。将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0。所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0。(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0。由解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为，。8．(2016·遵义模拟)以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为(1，－5)，点M的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心，4为半径。(1)求圆C的极坐标方程。(2)试判定直线l与圆C的位置关系。解　(1)M点的直角坐标为(0,4)，因为圆C以M为圆心，4为半径，所以圆C的直角坐标方程为x2＋(y－4)2＝16，即x2＋y2＝8y， 所以圆C的极坐标方程为ρ＝8sinθ。(2)因为直线l过点P(1，－5)，且倾斜角为，所以直线斜率为，所以直线l的普通方程为x－y－5－＝0，圆心M到l的距离为d＝＝>4，所以直线l与圆C相离。9．在极坐标系中，已知曲线C1与C2的极坐标方程分别为ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1(0≤θ<2π)，求：(1)两曲线(含直线)的公共点P的极坐标。(2)过点P被曲线C1截得弦长为的直线的极坐标方程。解　(1)由公式得曲线C1：ρ＝2sinθ与C2：ρcosθ＝－1(0≤θ<2π)的直角坐标方程分别为x2＋y2＝2y，x＝－1。联立方程组，解得由公式得点P(－1,1)的极坐标为。(2)解法一：由上述可知，曲线C1：ρ＝2sinθ即圆x2＋(y－1)2＝1，如图所示，过P(－1,1)被曲线C1截得弦长为的直线有两条： 一条过原点O，倾斜角为，直线的普通方程为y＝－x，极坐标方程为θ＝(ρ∈R)；另一条过点A(0,2)，倾斜角为，直线的普通方程为y＝x＋2，极坐标方程为ρ(sinθ－cosθ)＝2，即ρsin＝。解法二：由上述可知，曲线C1：ρ＝2sinθ即圆x2＋(y－1)2＝1，过点P被曲线C1截得弦长为的直线有两条：一条过原点O，倾斜角为，极坐标方程为θ＝(ρ∈R)；另一条倾斜角为，极坐标方程为ρsin＝sin，即ρsin＝。10．(2015·山西考前监测)在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝，点R。(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标。解　(1)∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ， ∴曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1。点R的直角坐标为R(2,2)。(2)设P(cosθ，sinθ)，根据题意可得|PQ|＝2－cosθ，|QR|＝2－sinθ，∴|PQ|＋|QR|＝4－2sin(θ＋60°)。当θ＝30°时，|PQ|＋|QR|取最小值2，∴矩形PQRS周长的最小值为4，此时点P的直角坐标为。