河北省定州市2022-2023学年高一上学期期中数学试题（解析版）

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定州市2022-2023学年度高一第一学期期中考试数学试题分值：150分时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的序号填涂在答题卡上.）1.下列说法中正确的是（）①某高级中学高一年级所有高个子男生能组成一个集合②③不等式的解集为④在平面直角坐标系中，第二、四象限内的点构成的集合可表示为A.①②B.②④C.②③④D.①③④【答案】B【解析】【分析】结合集合的定义即可判断①、②；通过解一元二次不等式即可判断③；对二、四象限的点进行分析即可判断④.【详解】对于①，“高个子男生”无法作元素被确定，因此不能组成一个集合，故①不正确；对于②，由，即，即恒成立，故②正确；对于③，不等式的解集应为或，故③不正确；对于④，平面直角坐标系中，第二、四象限内的点横坐标与纵坐标异号，所以第二、四象限内的点构成的集合可表示为，故④正确.故选：B.2.设，集合，集合，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】结合图，得出阴影部分表示的集合，再根据集合中元素个数确定其真子集个数即可.第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

1【详解】图中阴影部分表示的集合是由属于集合，但不属于集合的元素组成，则阴影部分表示集合为：，所以其真子集个数为：.故选：C.3.已知幂函数的图象经过点，则（）A.3B.C.9D.【答案】B【解析】【分析】根据题意设幂函数，求出的值，写出函数解析式，再计算的值．【详解】设幂函数的图象经过点，则，，，．故选：B．4.下列选项中能表示同一个函数的是（）A.与B.与C.与D.与【答案】C【解析】【分析】比较两个函数的定义域和对应法则，结合选项可得答案.【详解】对于A，的定义域为，而的定义域为，所以不是同一个函数；对于B，的定义域为，而的定义域为，所以不是同一个函数；第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

2对于C，因为，所以，是同一个函数；对于D，的定义域为，而的定义域为，所以不是同一个函数；故选：C.5.若函数满足，且，，那么（）A.18B.12C.11D.7【答案】B【解析】【分析】根据逐步分解可得答案.【详解】因为，所以，因为，，所以.故选：B.6.已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】函数的定义域为全体实数，说明分母不为零，对讨论，结合二次方程的知识可求答案.【详解】因为函数的定义域为，所以，当时，显然符合题意；当时，，即，综上可得实数的取值范围是.故选：B.7.若定义在上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】分、两种情况，分别根据函数的单调性、奇偶性求解不等式可得答案．第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

3【详解】因为定义在上的偶函数在区间上单调递增，且.当时，由可得，即，所以，，解得，此时；当时，由可得，即，所以，，解得或，此时.综上所述，满足不等式的的取值范围是.故选：D.8.已知，，，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据条件得，代入式子化简，结合基本不等式即可求得最小值.【详解】因为，所以即，当且仅当，即时，等号成立.所以故选:D.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.请将正确答案的序号填涂在答题卡上.）9.已知，则下列不等式正确的是（）A.B.第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

4C.D.【答案】ABC【解析】【分析】根据不等式的性质直接判断ABD，利用均值不等式及不等式性质判断C，即可得解.【详解】因为，所以，所以，即成立，故A正确；因为，则，，故成立，故B正确；因为，则（等号不成立），即，两边同乘以，所以，故C正确；因为，两边同乘以，可得，故D错误.故选：ABC10.下列选项中说法错误的是（）A.若函数的定义域为，则函数的定义域为B.函数的单调递增区间是C.设，，则“”是“”的充要条件D.函数的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】根据抽象函数定义域的求法判断A，由特殊值法判断BC，根据均值不等式成立的条件判断D.【详解】因为函数的定义域为，所以，所以由解得，即函数的定义域为，故A正确；取时，，故在上不是增函数，故B错误；当时，由推不出，所以“”不是“”的充要条件，故C错误；第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

5因为，当且仅当时等号成立，显然取不到等号，故不是最小值，故D错误.故选：BCD11.一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（）A.若为的跟随区间，则B.函数不存在跟随区间C.是函数的一个跟随区间D.二次函数存在“倍跟随区间”【答案】BCD【解析】【分析】A选项中，由二次函数单调性可知值域为，由跟随区间定义可构造方程求得，知A错误；B选项中，假设存在跟随区间，由单调性可知为的两根，根据方程无解可知B正确；C选项中，根据在上的值域为可知C正确；D选项中，在时，根据单调性可知是方程的两根，解方程求得，知D正确.【详解】对于A，在上单调递增，的值域为，，解得：（舍）或，A错误；对于B，在，上单调递增，若存在跟随区间，则，即为方程的两根，即，无解，不存在跟随区间，B正确；第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

6对于C，，当时，；又，，，在上的值域为，即是的一个跟随区间，C正确；对于D，若存在“倍跟随区间”，则其值域为；当时，在上单调递增，，则是方程的两根，解得：或，即，，是的一个“倍跟随区间”，D正确.故选：BCD.12.已知正实数，满足，则下列结论中正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则【答案】BC【解析】【分析】将，的相应值代入，结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可.【详解】对于A，，，则，，，，即，当且仅当时，等号成立，故A错误；对于B，由题意，，，，，即，当且仅当时，等号成立，故B正确；对于C，，，由题意，，即，，，，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

7当且仅当，即，时等号成立，故C正确；对于D，，时，，，，，即，即，故D错误.故选：BC.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的横线上.）13.已知命题，使得，则为_______【答案】，.【解析】【分析】存在量词命题（特称命题）的否定，改为，对结论否定.【详解】由题意，，使得，则，.故答案为：，.14.若集合，，则________【答案】或【解析】【分析】先解两个集合中的不等式，再利用集合基本运算求解.【详解】或，或，或.故答案为：或.15.符号表示不超过的最大整数，如，，关于函数有下列结论：①；②函数的定义域为，值域为③，；第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

8④函数是增函数也是奇函数.其中正确结论的序号是_______________.【答案】①③【解析】【分析】根据函数解析式及的定义求判断①，根据的定义求函数定义域、值域判断②，根据的定义知，据此可判断③，取特殊值判断④.【详解】，①正确；，，即定义域为，由符号表示不超过的最大整数，可知，即值域为，②错误；，③正确；取，则，故不是增函数，取，则，，即，所以函数不是奇函数，④错误.故答案为：①③16.对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较大的数，如，因此______；若，则x=______.【答案】①.②.0或1【解析】【分析】由符号表示p，q两数中较大的数求解.【详解】解：因为符号表示p，q两数中较大的数，所以；则，当时，，解得或（舍去）；当时，，解得或（舍去），第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

9所以或，故答案为：，0或1四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设函数的定义域为集合，集合．（1）求函数的定义域；（2）若：，：，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）只要二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，列不等式组可求得答案；（2）由题意可得Ü，然后分和两种情况求解即可.【小问1详解】要使得函数有意义，只需要解得，所以集合小问2详解】因为是的必要不充分条件，所以Ü，当时，，且，解得，当时，且，解得，综上可知，实数的取值范围是.18.已知函数，点，是图象上的两点.（1）求函数的解析式；（2）判断函数在上的单调性，并说明理由；（3）定义：区间的长度为，问是否存在区间，使得时，的值域为，若存在，求出此区间长度的最大值.第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

10【答案】（1）；（2）在上单调递增，理由见解析；（3）3.【解析】【分析】（1）代入两点坐标，求出即可得解；（2）根据单调性的定义证明即可；（3）根据函数单调性求出的最小值6，再求出，即可得解.【小问1详解】因为点，是图象上的两点，所以，解得，则函数的解析式为.【小问2详解】，，且，则，因为，，且，所以，，，则，即，所以函数在上单调递增.【小问3详解】存在，证明如下：由（2）易得在单调递减，在上单调递增，且，，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

11因为在区间上，的值域为，所以.19.已知正实数，满足.求（1）的最小值；（2）的最小值；（3）的最小值.【答案】（1）；（2）25；（3）.【解析】【分析】（1）根据得出然后展开，利用均值不等式求解即可；（2）转化为，然后利用基本不等式即可得出结果；（3）根据，利用，由基本不等式即可得出结果.【小问1详解】因为，是正数，，所以，因为，，所以，当且仅当，时等号成立，故的最小值为；【小问2详解】由可得，即，所以，，又，因为，，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

12所以当且仅当，时等号成立，故的最小值为．【小问3详解】由可得，所以，所以，，所以当且仅当，时等号成立，故的最小值为.20.函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．【答案】（1）0；（2）见解析；（3）【解析】【详解】试题分析：（1）抽象函数求具体指，用赋值法；（2）根据定义求证函数的奇偶性找f(－x)和f(x)的关系；（3）先利用f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2得到f(x－1)<2⇔f(|x－1|)

13（1）写出年利润（万美元）关于年产量（万部）的函数解析式（利润=销售收入成本）；（2）当年产量为多少万部时，该公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.【答案】（1）（2）年产量为32万部时，利润最大，最大利润为6104万美元【解析】【分析】（1）分段分别求出利润与的函数解析式，再写出分段函数的形式即可；（2）当时，利用二次函数性质求的最大值，当时，利用基本不等式求出的最大值，再比较两者大小，即可得到的最大值.【小问1详解】当时，，当时，，∴．【小问2详解】①当时，，∴当时，，②当时，，当且仅当，即时，等号成立，即当时，，综上所述，当时，取得最大值为6104万美元，即当年产量为32万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大，最大利润为6104万美元．22.已知函数.（1）若在上是单调函数，求实数的取值范围；（2）解关于的不等式.第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

14【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）分为一次函数和二次函数两种情况讨论求解；（2）分类讨论，从开口方向和根的大小进行分类，结合二次不等式的求解方法进行求解.【小问1详解】当，即时，，在上是单调递增函数，符合题意；当，即时，二次函数对称轴为，要想函数在上是单调函数，只需①，或②，解①得：或，解②得：，所以，综上：实数的取值范围是.【小问2详解】不等式，变形为，，当时，，解得：，当时，的两根为和，当时，，此时，解得：，当时，原不等式即，解得：，当时，，此时，解得：，当时，，此时，解得：或.综上所述：当时，原不等式解集为，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

15当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司