重庆市高2023届高三（11月）第三次质量检测数学Word版含解析

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重庆市高2023届高三第三次质量检测数学试卷一、单项选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知复数（i为虚数单位），则z的虚部为（）A.B.C.D.【详解】因为，所以z的虚部为，故选：D2.已知，是不共线的向量，则是向量，平行的（）条件A.必要不充分B.充分不必要C.充分必要D.既不充分也不必要【详解】当时，，，则，所以，充分性成立；当时，，所以，解得或，必要性不成立；所以是向量，平行的充分不必要条件，故选：B3.某国有企业响应国家关于进一步深化改革，加强内循环的号召，不断自主创新提升产业技术水平，同时积极调整企业旗下的甲、乙、丙、丁、戊等5种系列产品的结构比例，近年来取得了显著效果．据悉该企业2021年5种系列产品年总收入是2020年的2倍，其中5种系列产品的年收入构成比例如下图所示．则以下说法错误的是（）

1A.2021年甲系列产品收入和2020年的一样多B.2021年乙和丙系列产品收入之和比2020年的企业年总收入还多C.2021年丁系列产品收入是2020年丁系列产品收入的D.2021年戊系列产品收入是2020年戊系列产品收入的2倍还多【详解】设2020年5种系列产品年总收入为m，则2021年5种系列产品年总收入为2m，对于A，2020年甲系列产品收入为0.4m，2021年甲系列产品收入为0.4m，A正确；对于B，2021年乙和丙系列产品收入之和为1.1m，B正确；对于C，2020年丁系列产品收入为0.15m，2021年丁系列产品收入为0.1m，是2020年丁系列产品收入的，C不正确；对于D，2020年戊系列产品收入为0.15m，2021年戊系列产品收入为0.4m，比2020年戊系列产品收入的2倍还多，D正确.故选：C4.已知平面向量，，满足：，，且，则为（）A.1B.3C.D.9【详解】由得，由得，故，故选:B5.已知A，B是函数的图像上的两个相邻最高点和最低点，且，为得到的图像，只需要将函数的图像（）

2A.向左平移个单位长度B.向右平移π个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移3个单位长度【详解】由题意因为，构造直角三角形，可得，则函数的最小正周期，∴，∴，∴只需将的图像向左平移个单位长度，即可得到的图像．故选：A6.已知实数a，b，c满足，，，则a，b，c的大小关系是（）A.B.C.D.详解】由可得，所以即，由结合是上的增函数，可得，因为，所以由可得，所以，故．故选：D7.若在上存在满足，且，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【详解】，

3当时，，此时在上单调递减，不满足，，故舍去，当时，令，则，故当时，，因此在单调递增，在单调递减，由于在上存在满足，且，则，即，又，，，由题意，若即时，则，所以，若，即时，则，所以，又综上：．故选：C8.已知满足，所在平面内一动点P满足），且，若恒成立，则的最小值为（）A.B.C.D.0【详解】由平方可得，令，代入有，所以有，令其，即，也即，

4又恒成立，所以，解得所以的最小值为，故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．9.设Z表示整数集，且集合，，则（）A.B.C.D.【详解】∵，由，则，即中元素都是中元素，有；．而对于集合，当时，，故，但，∴由，有，A选项正确；,B选项错误；由，有，∴，，C选项错误，D选项正确.故选：AD．10.已知、为函数的两个不相同的零点，则下列式子一定正确的是（）A.B.C.D.【详解】令可得，则直线与函数的图象有两个交点，且这两个交点的横坐标分别为、，如下图所示：

5由图可知，当时，直线与函数图象有两个交点，设，则，由，可得，解得，由，可得，解得，所以，，对于A选项，，A对；对于B选项，，B对；对于C选项，，则，C对；对于D选项，取，则，，D错.故选：ABC.11.已知C：的焦点，过的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则以下说法正确的是（）A.为定值B.AB中点的轨迹方程为C.最小值为27D.O在以AB为直径的圆外【详解】由题意可知：抛物线方程为C：，设直线l的方程为：，联立，则有，所以，对于A：，故选项A正确；对于B：设的中点为，则有，所以满足，故选项B正确；对于C：

6（当且仅当取等号），故选项C错误；对于D：，所以选项D正确．故选：ABD.12.如图给出下列一个由正整数组成的三角形数阵，该三角形数阵的两腰分别是一个公差为的等差数列和一个公差为的等差数列，每一行是一个公差为的等差数列．我们把这个数阵的所有数从上到下，从左到右依次构成一个数列：、、、、、、、、、、，其前项和为，则下列说法正确的有（）（参考公式：）A.B.第一次出现是C.中出现了次D.【详解】对于A，，且，故在第行第个，则，A对；对于B，因为第行最后一个数为，该数为奇数，由，可得，所以，第一次是出现在第行倒数第个，因为，即第一次出现是，B错；对于C，因为第一次是出现在第行倒数第个，在第行至第行，在每行中各出现一次，故在中出现了次，C对；对于D选项，设第行的数字之和为，则，故，D对.故选：ACD.

7三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，，则______．【详解】解：因为，所以，又，所以，所以．故答案为：.14.已知数列满足，，则______．【详解】因为，所以，所以，，，……，，

8所以，因为，所以，所以．故答案为：.15.在中，为上一点，，，则______；若，则______．【详解】如下图所示：在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，消元可得，所以，；在中，由正弦定理可得，①在中，由正弦定理可得，②②①可得，，，，由余弦定理可得.故答案为：；.

916.已知三个内角A，B，C的对边a，b，c依次成等比数列，且，，点T为线段AB（含端点）上的动点，若满足的点T恰好有2个，则实数t的取值范围______．【详解】由，又由，所以，∴，∴，(舍)∴，从而，∴，即为等边三角形．设BC中点M，则，，由题意若满足的点T恰好有2个，即需要，故，∴实数t的取值范围为．故答案为：

10四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.经国务院批准，自1998年起，每年9月第三周为全国推广普通话宣传周（以下简称推普周）．今年9月12日至18日为第25届推普周，并以“推广普通话，喜迎二十大”为主题．某校在“二十大”前夕举行了推普知识竞赛，设置了甲、乙两类问题各2道，参赛者需要答完四道题．小明同学回答甲类每题的正确率为，回答乙类每题的正确率为，且各道题作答情况互不影响．（1）求小明两类问题各答对1道的概率；（2）求小明答对题目总数的分布列与期望．（1）设表示甲类问题答对k道，表示乙类问题答对l道（，1，2，，1，2）所求概率为（2）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且,故，，，．．综上知ξ分布列为ξ01234

11P从而，ξ的期望为18.刍甍，中国古代数学中的一种几何体．中国传统房屋的顶部大多都是刍甍．《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶”．如图下面的五面体为一个刍甍，其五个顶点分别为A，B，C，D，E，F，四边形ABCD为正方形，，平面ABCD，，，平面平面ABCD，O为BC中点．（1）求证：平面；（2）求平面和平面所成的锐二面角的大小．（1）取AD中点M，连接OF，OM，ME．因为平面，且平面，平面平面，所以，又，所以∵，O为BC中点，∴，又∵，,平面,故平面，因为平面，故，又∵，∴①，因为平面平面，平面，，平面平面，所以平面，因为平面，所以，所以在直角梯形中，，，，可得，，

12又可得，②，由①②，，平面，所以平面；（2）如图，以O为坐标原点，OM所在直线为x轴，所在直线为y轴，OF所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则，，由图可得平面BCF的一个法向量为，由（1）知平面ADE的一个法向量为，故，设平面ADE和平面BCF所成的锐二面角为，所以，即，所以平面和平面所成的锐二面角的大小为19.在中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．（1）求值；（2）若的面积为1，求边a的最小值．（1）因为，所以由正弦定理得，所以，所以，所以由正弦定理得

13故．（2）因为的面积，且，所以，所以，所以根据余弦定理得：，即，可得，所以，其中，因为，则，解得：，即边a的最小值为．20.已知为数列的前项和，且满足，．单调递增等比数列满足，，．（1）求数列和的通项公式；（2）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得成立？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由．（1）由得，，上两式相减得：，∴，∴是公差为2，首项为1的等差数列，∴；∴由，，得：，，，

14∴单调递增等比数列的通项公式为.（2）由（1）可得：是首项为，公比为的等比数列，故其前n项和，故不等式等价于，即，也即，∴，∴，由即恒成立，则，解得，又为正整数，故可得，将其代入，可得：，又为正整数，故.故存在符合条件的正整数，，其中，．21.已知椭圆C：的离心率为，椭圆的上顶点B到两焦点的距离之和为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：与椭圆C交于异于点B的两点P，Q，直线BP，BQ与x轴相交于，，若，求证：直线过一定点，并求出定点坐标．（1）∵，，∴，，．故椭圆方程为；

15（2）联立直线和椭圆可得，解得，于是有：，，．由题意BP：，BQ：，分别和联立得，，，由，得，即整理得，整理得，解得或者．当时，直线过点B,与题意矛盾，应舍去.故直线的方程为：，过定点为．22.已知函数．（1）若函数与x轴相切，求m的值；（2）若函数恰好有两个零点，证明：．（1）由题意可得，当时，，单调递增，

16由图象可知函数的图象在时有交点，此时有零点，函数值可取正也可取得负值，函数不可能与x轴相切．当时，在上，函数单调递减，在上，函数单调递增，因为函数与x轴相切，则，解得．（2）证明：函数恰好有两个零点，由（1）可知，因为是的两个不同的零点且，则有，即，即①，设函数，，时，，即在上单调递增，故，即在时恒成立．令，则，可得，即，将①代入可得，，即．