新疆喀什第二中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学Word版含解析

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喀什第二中学2021-2022学年度高二上学期期中质量监测数学试卷本试题满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区城（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，则满足的非空集合B的个数是（）A.1B.6C.7D.82.下列有关命题的说法中错误的是（）A.若p∧q为假命题，则p，q均为假命题B.命题“若x2-3x+2=0，则x=1“的逆否命题为：“若x≠1则x2-3x+2≠0”C.若命题p：∃x∈R，使得x2+x+1<0，则￢p：∀x∈R均有x2+x+1≥0D.“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件3.已知函数的最小正周期为，将该函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象对应的函数为偶函数，则下列说法错误的是（）A.函数在区间上单调递减B.函数的图象关于直线对称C.函数图象关于点对称D.函数的图象关于直线对称4.已知点在函数的图象上，点的坐标是，那么的值是（）A.B.C.D.

15.已知数列的各项均为正数，，点在抛物线上，则过点和的直线的一个方向向量的坐标可以是（）A.B.C.，D.，6.如图，已知正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），，，分别为，，上的点，，，分别记二面角，，的平面角为，，，则（）A.<

2C.D.10.已知F是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于A，B两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（）A.B.C.D.11.命题：“若，则”的逆命题为，则下列判断正确的是（）A.是真命题B.是真命题C.逆否命题是真命题D.，都是假命题12.已知函数的导函数为，对任意的实数都有，，则不等式的解集是（）A.B.C.D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知的最小值为0，则正实数的值为__．14.函数，其导函数为，则________________15.已知函数的图象C1向左平移个单位得到图象C2，则C2在[0，π]上的单调减区间是________．16.已知抛物线：，点在上，点的坐标为，若，则的焦点坐标为___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知在中，，．（1）求的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．

3①；②周长；③面积为.18.已知正项数列满足，且对任意正整数n，是和的等差中项，证明：是等差数列，并求的通项公式．19.求函数的最小值．20.已知抛物线和，如果直线同时是和的切线，则称是和的公切线，则取什么值时，和有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程.21.已知函数.（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；（2）若存在，，使得不等式成立，求的取值范围.22.某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和2.5千米，以所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数（其中a，b为常数）模型.（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.喀什第二中学2021-2022学年度上学期期中质量监测

4高二数学本试题满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区城（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，则满足的非空集合B的个数是（）A.1B.6C.7D.8【答案】C【解析】【分析】根据给定条件可得，且，求出集合A的非空子集个数即可.【详解】依题意，，因此有，且，而集合A的子集有个，则集合A的非空子集有7个，所以符合条件的非空集合B的个数是7.故选：C2.下列有关命题的说法中错误的是（）A.若p∧q为假命题，则p，q均为假命题B.命题“若x2-3x+2=0，则x=1“的逆否命题为：“若x≠1则x2-3x+2≠0”C.若命题p：∃x∈R，使得x2+x+1<0，则￢p：∀x∈R均有x2+x+1≥0D.“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用“且”命题真假判断表可判断A；根据四种命题的变换形式可判断B；由全称命题的否定变换形式可判断C；根据充分条件、必要条件的定义可判断D.【详解】A，若p∧q为假命题，则p，q至少有一个是假命题，故A错误；B，命题“若x2-3x+2=0，则x=1“的逆否命题为：“若x≠1则x2-3x+2≠0”，故B正确；

5C，若命题p：∃x∈R，使得x2+x+1<0，则￢p：∀x∈R均有x2+x+1≥0，故D正确；D，“x=1”可得“x2-3x+2=0”，反之，“x2-3x+2=0”，则或，所以“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件，故D正确.故选：A3.已知函数的最小正周期为，将该函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象对应的函数为偶函数，则下列说法错误的是（）A.函数区间上单调递减B.函数的图象关于直线对称C.函数的图象关于点对称D.函数的图象关于直线对称【答案】D【解析】【分析】根据图象变换的性质及周期求得函数解析式，然后根据正弦函数性质判断各选项．【详解】由已知，向左平移后得，它是偶函数，则，又，所以，所以．时，，因此A正确；，因此函数图象关于点对称，B正确；，函数图象关于直线对称，C正确；，不是最值，D错误．故选：D．4.已知点在函数图象上，点的坐标是，那么的值是（）

6A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据在函数的图象上代入可得，再利用向量的模长公式求解即可.【详解】∵点在函数的图象上，∴，，∴点坐标为，，．故选：D5.已知数列的各项均为正数，，点在抛物线上，则过点和的直线的一个方向向量的坐标可以是（）A.B.C.，D.，【答案】D【解析】【分析】由已知可知，即可求得，，利用两点连线的斜率公式即可得解.【详解】，点在抛物线上，，即数列是首项为3，公差为4的等差数列，，，，，即直线的方向向量为故选：D6.如图，已知正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），，，分别为，，上的点，，，分别记二面角，，的平面角为，，，则（）

7A.<

8∵，，∴，，则直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，根据点到直线的距离公式，知，，，∴，，因为，，为锐角，所以，故选：B7.设f'（x）是函数f（x）的导函数，若f'（x）＞0，且∀x1，x2∈R（x1≠x2），f（x1）+f（x2）＜2f（），则下列各项中不一定正确的是（　　）A.f（2）＜f（e）＜f（π）Bf′（π）＜f′（e）＜f′（2）C.f（2）＜f′（2）﹣f′（3）＜f（3）D.f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）【答案】C【解析】【分析】f′（x）＞0，∴f（x）在R上单调递增，由，可得＜，可得y＝f（x）的图象如图所示，图象是向上凸．进而判断出正误．【详解】解：∵f′（x）＞0，∴f（x）在R上单调递增，∵，∴＜，∴y＝f（x）的图象如图所示，图象是向上凸．∴f（2）＜f（e）＜f（π），f′（π）＜f′（e）＜f′（2），可知：A，B正确．

9∵f（3）﹣f（2）＝，表示点A（2，f（2）），B（3，f（3））的连线的斜率．由图可知：f′（3）＜kAB＜f′（2），故D正确．C项无法推出，故选：C．8.定义在上的图象不间断的奇函数，满足以下条件：①当时，，当时，；②，则当时，的解集为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性、单调性和周期性结合简图可得结果.【详解】定义在R上的图象不间断的奇函数，则，因为当时，，即函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，又，则，所以，所以当时，，当时，，且函数的周期，的图象大致为下图.则当时，的解集为.故选：D9.设，集合是奇数集，集合是偶数集，若命题，则（）

10A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得全称命题的否定一定是存在性命题，可得命题“”的否定为：“”故选：C.10.已知F是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于A，B两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据已知结合椭圆对称性有为平行四边形且，由余弦定理可得，应用基本不等式有，即可求椭圆离心率的范围.【详解】连接A，B与左右焦点F，的连线，由，由椭圆及直线的对称性知：四边形为平行四边形，且，在△中，，∴，可得，即，则，∴椭圆的离心率，故选：C．11.命题：“若，则”的逆命题为，则下列判断正确的是（）

11A.真命题B.是真命题C.的逆否命题是真命题D.，都是假命题【答案】C【解析】【分析】由不等式的性质可判断是真命题，举反例可知是假命题，利用命题的否定和原命题的关系，以及原命题和逆否命题真假相同，依次判断即可【详解】由不等式的性质可知“若，则”可知命题是真命题，故D错误；故是假命题，故B错误；所以的逆否命题是真命题，故C正确；逆命题为“若，则”，取可知是假命题，故A错误；故选：C12.已知函数的导函数为，对任意的实数都有，，则不等式的解集是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由已知条件构造函数，再根据，求，不等式转化为，结合函数的单调性和奇偶性，解抽象不等式.【详解】解：由题意得，则，由，解得：，故，（2），当时，，，，

12在上恒成立，即在上单调递增，又，故为上的偶函数，其图象关于轴对称，在上单调递减，故，故，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知的最小值为0，则正实数的值为__．【答案】【解析】【分析】将问题转化为的图象在函数的图象上方相切，利用函数的导数和切线的斜率的关系，求出切点坐标即可得解．【详解】由于函数的最小值为0，所以恒成立，即恒成立且可取等号，设、所以的图象在函数的图象上方相切，当时，的图象与轴的交点在轴的负半轴上，由图可知当正数最小时，直线与在内相切，对函数求导得到，

13所以，解得，所以，所以切点的坐标为把点代入得：．由于的周期为，故每向左或向右平移都会与曲线相切，又.故答案为：14.函数，其导函数为，则________________【答案】##0.5【解析】【分析】先求导，然后代入，进行求解【详解】因为，所以故答案为：15.已知函数的图象C1向左平移个单位得到图象C2，则C2在[0，π]上的单调减区间是________．【答案】[，π]【解析】【分析】根据正弦型函数的变换性质，结合正弦型函数的单调性进行求解即可.【详解】由题设可知C2的曲线方程:，令，得．令k＝0得C2在[0，π]上的单减区间为[，π]．故答案为：[，π]

1416.已知抛物线：，点在上，点的坐标为，若，则的焦点坐标为___________.【答案】【解析】【分析】根据两点间距离公式，结合代入法进行求解即可.【详解】因为在上，所以，又因为，所以，所以该抛物线方程为：，因此的焦点坐标为：，故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知在中，，．（1）求的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．①；②周长为；③面积为.【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.【详解】（1），则由正弦定理可得，∴，∴∴

15解得(2)若选择①:由正弦定理结合(1)可得与矛盾,故这样的不存在；若选择②:由(1)可得，设的外接圆半径为R，则由正弦定理可得则周长解得，则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：若选择③：由(1)可得，即，则解得则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：==.18.已知正项数列满足，且对任意的正整数n，是和的等差中项，证明：是等差数列，并求的通项公式．【答案】证明见解析；．【解析】【分析】由条件可得，得到是等差数列，求出通项公式，再利用迭代法可得的通项公式．【详解】证明：由题知，得，

16所以是以为首项，公差为2的等差数列，即，当时，，当时，也符合题意，所以，又所以.19.求函数的最小值．【答案】【解析】【分析】将转化成两线段距离之和，利用三角不等式即可求解.【详解】因为，所以为点和之间的距离与和之间的距离之和，即如下图：由三角不等式可知，，当且仅当点、、三点共线时，有最小值.即的最小值为.故答案为：.20.已知抛物线和，如果直线同时是和的切线，则称是和

17的公切线，则取什么值时，和有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程.【答案】当时，和有且仅有一条公切线，公切线方程为【解析】【分析】假设切点坐标，利用导数的几何意义可利用分别表示出的方程，由为公切线可确定方程组，化为一元二次方程后，利用可求得，代回可求得，确定切线方程.【详解】由得：；由得：；设与相切于点，与相切于点，方程为或，即方程为或，，则，，解得：，此时，此时切线方程为：，综上所述：当时，和有且仅有一条公切线，公切线方程为.21.已知函数.（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；（2）若存在，，使得不等式成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用导数，结合切点和斜率求得切线方程.（2）将不等式转化为，利用构造函数法，结合导数以及对进行分类讨论，来求得的取值范围.【详解】（1）当时，，则，，，

18所以曲线在点，处的切线方程为，即；（2）由题意知，存在，，使得不等式成立，即存在，，使得成立，令，，，则，，，①当时，，所以函数在，上单调递减，所以（2）成立，解得，所以.②当时，令，解得；令，解得.所以函数在，上单调递增，在，上单调递减，又，所以（2），解得，与矛盾，舍去.③当时，，所以函数在，上单调递增，所以，不符合题意，舍去.综上所述，的取值范围为.22.某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和2.5千米，以所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数（其中a，b为常数）模型.（1）求a，b的值；

19（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.【答案】（1）；（2）①，；②，最短长度为千米.【解析】【分析】（1）由题意得函数过点，列方程组就可解出a，b的值.（2）①求公路l长度的函数解析式，就是求出直线l与x，y轴交点，再利用两点间距离公式计算即可，关键是利用导数几何意义求出直线l方程，再根据M，N为C的两个端点的限制条件得定义域为；②对函数解析式解析式根式内部分单独求导求最值，注意列表说明函数变化趋势.【详解】（1）由题意知，点M，N的坐标分别为，将其分别代入，得，解得.（2）①由（1）知，，则点的坐标为，设在点处的切线l交轴分别于点，，∴l的方程为，由此得.故，.②设，则.令，解得，当时，，是减函数；当时，，是增函数.从而，当时，函数有极小值，也是最小值，∴，此时.

20答：当时，公路l的长度最短，最短长度为千米.