全国卷理科数学

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绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合M{x|4x2}，N{x|x2x60}，则MIN2．A．{x|4x3}B．{x|4x2}3．C．{x|2x2}D．{x|2x3}4．设复数z满足|zi|1，z在复平面内对应的点为(x,y)，则5．A．(x1)2y21B．(x1)2y216．C．x2(y1)21D．x2(y1)217．已知alog0.2，b20.2，c0.20.3，则28．A．abcB．acbC．cabD．bca9．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是51（510.618，称为22

1黄金分割比例），着名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51．若某人2满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是10．A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm11．函数f(x)sinxx在[π,π]的图像大致为cosxx2yy11xxπOππOπ12．A．B．yy11ππxππxOO13．C．D．14．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阴爻“”和阳爻“”，右图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是15．A．5B．11C．21D．111632321616．已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为17．A．πB．πC．2πD．5π6336

218．右图是求1的程序框图，图中空白框中应121开始221A填入21k119．A．A2A否k≤220．B．A21是A输出A21．C．A1kk1结束12A22．D．A112A23．记S为等差数列{a}的前n项和．已知S0，a5，则nn4524．A．2n1a2n5B．a3n10C．S28nD．Sn22nnnnn225．已知椭圆C的焦点为F(1,0)，F(1,0)，过F的直线交C于A，B两122点．若|AF|2|FB|，|AB||BF|，则C的方程为22126．A．x2y21B．x2y21C．x2y21D．x2y21232435427．关于函数f(x)sin|x||sinx|有下述四个结论：28．①f(x)是偶函数②f(x)在区间(π,π)单调递增229．③f(x)在[π,π]有4个零点④f(x)的最大值为230．其中所有正确结论的编号是31．A．①②④B．②④C．①④D．①③32．已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，PB的中点，CEF90，则球O的体积为33．A．86πB．46πC．26πD．6π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。34．曲线y3(x2x)ex在点(0,0)处的切线方程为__________．

335．记S为等比数列{a}的前n项和．若a1，a2a，则S__________．nn1346536．甲，乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是__________．37．已知双曲线C：x2y21(a0,b0)的左，右焦点分别为F，F，过Fa2b2121uuuruuur的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若FAAB，1uuuruuuurFBFB0，则C的离心率为__________．12三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设(sinBsinC)2sin2AsinBsinC．（1）求A；（2）若2ab2c，求sinC．18．（12分）DC11如图，直四棱柱ABCDABCD的底面是AB111111菱形，AA4，AB2，BAD60，E，M，1N分别是BC，BB，AD的中点．11（1）证明：MN∥平面CDE；1NM（2）求二面角AMAN的正弦值．119．（12分）已知抛物线C：y23x的焦点为F，斜率为DCEAB

43的直线l与C的焦点为A，B，与x轴的交点为P．2（1）若|AF||BF|4，求l的方程；uuuruuur（2）若AP3PB，求|AB|．20．（12分）已知函数f(x)sinxln(1x)，f(x)为f(x)的导数．证明：（1）f(x)在区间(1,π)存在唯一极大值点；2（2）f(x)有且仅有2个零点．21．（12分）为治疗某种疾病，研制了甲，乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验，试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验，对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲，乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．（1）求X的分布列；（2）若甲药，乙药在试验开始时都赋予4分，p(i0,1,L,8)表示i“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0，p1，papbpcp(i1,2,L,7)，其中aP(X1)，01ii1ii1bP(X0)，cP(X1)．假设α0.5，β0.8．（ⅰ）证明：{pp}(i1,2,L,7)为等比数列；i1i（ⅱ）求p，并根据p的值解释这种试验方案的合理性．44（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）1t2x,在直角坐标系1t2xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以4ty1t2

5坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ3ρsinθ110．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）已知a，b，c为正数，且满足abc1．证明：（1）111≤a2b2c2；abc（2）(ab)2(bc)2(ca)2≥24．