专题10 直线与圆的应用（原卷版）

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专题10直线与圆的应用1、【2019年高考北京卷文数】设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________．.2、【2019年高考浙江卷】已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆C相切于点，则=___________，=___________．3、【2019年高考浙江卷】已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是___________．4、【2018年高考全国I卷文数】直线与圆交于两点，则________．5、【2018年高考天津卷文数】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．6、【2019年高考浙江卷】已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是___________．.

17、【2018年高考全国I卷文数】直线与圆交于两点，则________．8、【2018年高考天津卷文数】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．9、【2018年高考全国Ⅲ卷文数】直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（）A．B．C．D．10、【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│=4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径；（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│−│MP│为定值？并说明理由．一、圆的有关概念和方程1、定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆2、圆的标准方程：设圆心的坐标，半径为，则圆的标准方程为：3、圆的一般方程：圆方程为（1）的系数相同（2）方程中无项（3）对于的取值要求：4、确定圆的方程的方法和步骤;确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程.5.点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种.圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；

2(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2

3题型一求圆的标准方程或圆的一般式求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线.(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.例1、(2018苏州期末）在平面直角坐标系xOy中，已知过点A(2，－1)的圆C与直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上，则圆C的标准方程为________________．例2、(2018镇江期末）已知圆C与圆x2＋y2＋10x＋10y＝0相切于原点，且过点A(0，－6)，则圆C的标准方程为________．例3、(2019苏州期末）在平面直角坐标系xOy中，过点A(1，3)，B(4，6)，且圆心在直线x－2y－1＝0上的圆的标准方程为________．题型二直线与圆的位置关系直线与圆位置关系的判定：相切，相交，相离，位置关系的判定有两种方式：1、代数法。2、几何法。运用几何法时要注意寻找直角三角形。例4、(2019南通、泰州、扬州一调）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2＋y2＝1，圆C：(x－4)2＋y2＝4.若存在过点P(m，0)的直线l，直线l被两圆截得的弦长相等，则实数m的取值范围是________．例5、(2018无锡期末）过圆x2＋y2＝16内一点P(－2，3)作两条相互垂直的弦AB和CD，且AB＝CD，则四边形ACBD的面积为________．

4例6、(2018盐城三模）定义：点到直线的有向距离为．已知点,，直线过点，若圆上存在一点，使得三点到直线的有向距离之和为0，则直线的斜率的取值范围为．题型三隐圆问题的研究隐圆问题常见的有五种方法：1、定义法、2、阿波罗尼斯圆、3、.4、，5、轨迹法。在解决与圆相关的综合问题时，要注意充分利用圆的几何性质或一些简单的轨迹知识将问题转化为直线与圆或圆与圆的位置关系问题.例7、(2018苏锡常镇调研）在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则点的纵坐标的取值范围是．例8、(2018南京、盐城、连云港二模）在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆C：(x＋4)2＋(y－a)2＝16上的两个动点，且AB＝2.若直线l：y＝2x上存在唯一的一个点P，使得＋＝，则实数a的值为________．题型四圆中的最值问题研究平面动态图形的最值问题常用途径为：（1）解析化：建立坐标系，转化为解析几何问题；（2）函数化：引入变量，建立函数关系式，转化为函数最值问题；（3）三角化：引入角元，利用解三角形知识转化为三角函数最值问题；（4）不等式化：引入多元，转化为多元变量的条件最值问题．例9、(2018南通、泰州一调）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－4，0)，B(0，4)，从直线AB上一点P向圆x2＋y2＝4引两条切线PC，PD，切点分别为C，D.设线段CD的中点为M，则线段AM长的最大值为________．

5例10、(2018苏中三市、苏北四市三调）如图，在平面四边形中，，，∠°，，则边长的最小值为．例11、(2019南京学情调研）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(1，－1)，点P为圆(x－4)2＋y2＝4上任意一点，记△OAP和△OBP的面积分别为S1和S2，则的最小值是________．题型五圆与向量的结合圆与向量的结合往往从两方面入手：1、通过设点坐标。2、运用向量的转化。例12、(2019苏州三市、苏北四市二调）在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B在圆x2＋y2＝4上，且AB＝2，点P(3，－1)，·(＋)＝16，设AB的中点M的横坐标为x0，则x0的所有值为________．1、(2017扬州期末）已知直线l：x＋y－2＝0与圆C：x2＋y2＝4交于A，B两点，则弦AB的长度为________.2、(2017镇江期末）圆心在直线y＝－4x上，且与直线x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)的圆的标准方程为________．

63、(2017苏州暑假测试）圆心在抛物线y＝x2上，并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为________．4、(2019扬州期末）已知直线l：y＝－x＋4与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1相交于P，Q两点，则·＝________．5、(2018苏北四市期末）在平面直角坐标系xOy中，若圆C1：x2＋(y－1)2＝r2(r>0)上存在点P，且点P关于直线x－y＝0的对称点Q在圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1上，则r的取值范围是________．6、(2018苏州暑假测试）已知点A(1，0)和点B(0，1)，若圆x2＋y2－4x－2y＋t＝0上恰有两个不同的点P，使得△PAB的面积为，则实数t的取值范围是________．7、(2018南京学情调研）在平面直角坐标系xOy中，若圆(x－2)2＋(y－2)2＝1上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直线kx＋y＋3＝0上，则实数k的最小值为________．8、(2019泰州期末）在平面直角坐标系xOy中，过圆C1：(x－k)2＋(y＋k－4)2＝1上任一点P作圆C2：x2＋y2＝1的一条切线，切点为Q，则当线段PQ长最小时，k＝________．9、(2019苏锡常镇调研（一））若直线l：ax＋y－4a＝0上存在相距为2的两个动点A，B，圆O：x2＋y2＝1上存在点C，使得△ABC为等腰直角三角形(C为直角顶点)，则实数a的取值范围为________．10、(2019苏锡常镇调研（二））过直线l：上任意点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，当切线最小时，△PAB的面积为．11、(2019镇江期末）已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－2)2＝2.若圆M上存在点P，过点P作圆

7O的两条切线，切点为A，B，使得PA⊥PB，则实数a的取值范围为________．12、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）在平面直角坐标系xOy中，若动圆C上的点都在不等式组，表示的平面区域内，则面积最大的圆C的标准方程为________．13、(2018南京、盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝k(x－3)上存在一点P，圆x2＋(y－1)2＝1上存在一点Q，满足＝3，则实数k的最小值为________．14、(2019常州期末）过原点的直线l与圆x2＋y2＝1交于P，Q两点，点A是该圆与x轴负半轴的交点，以AQ为直径的圆与直线l有异于Q的交点N，且直线AN与直线AP的斜率之积等于1，那么直线l的方程为________．.15、(2019苏州期初调查）已知圆C的方程为：(x－3)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，若直线3x＋y＝3上存在一点P，在圆C上总存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，则圆C的半径r的取值范围是________．