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2022—2023学年度六校高三上学期期初考试数学试题考试时间：120分钟满分150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知命题，，则（）A．，B．，C．，D．，2.已知集合则（）A．B．C．D．3.设等差数列的前项和为，若则（）A．150B．120C．75D．604.在的展开式中，的系数为（）A．10B．C．30D．5.已知函数，若，则（）A．B．0C．1D．26.若则（）A．B．C．D．7.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（）
1A.当，时，二氧化碳处于液态B.当，时，二氧化碳处于气态C.当，时，二氧化碳处于超临界状态D.当，时，二氧化碳处于超临界状态8.已知函数满足：，，则（）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，计20分．在每小题给出的选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，有选错的得零分，部分选对得2分.9.已知复数，则下列说法正确的是（）A．复数在复平面内对应的点在第四象限B．复数的虚部为C．复数的共轭复数D．复数的模10.已知，关于该函数有下面四个说法，正确的是（）A．的最小正周期为B．在上单调递增C．当时，的取值范围为D．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到11.已知正方体的棱长为2，则（）
2A.直线与所成的角为B.直线与所成的角为C.点到平面的距离为D.直线与平面所成的角为12.双曲线的两个焦点为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与交于两点，且，则的离心率为（）A.B.C.D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，计20分.13.已知，则14.圆的过点的切线方程为_____________.15.已知抛物线的焦点为过的直线与交于点，则的最小值为_______.16.已知圆台上底面的半径为3，下底面的半径为4，高为7，圆台上、下底面的圆周都在同一个球面上，则该球的体积是____.四、解答题：本题共6小题，计70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本题满分10分）已知数列的首项，，.（1）证明：为等比数列；（2）证明：．18．（本题满分12分）
3在①，②，请在这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并完成解答.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设为的面积，满足______________(填写序号即可)．（1）求角C的大小;（2）若，求周长的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19．（本题满分12分）如图，在直三棱柱中，，点D是线段BC的中点.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.20．（本题满分12分）新高考的数学试卷第1至第8题为单选题，第9至第12题为多选题.多选题A、B、C、D四个选项中至少有两个选项符合题意，其评分标准如下：全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分.在某次考试中，第11、12两题的难度较大，第11题正确选项为AD
4，第12题正确选项为ABD.甲､乙两位同学由于考前准备不足，只能对这两道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的.（1）若甲同学每题均随机选取一项，求甲同学两题得分合计为4分的概率；（2）若甲同学计划每题均随机选取一项，乙同学计划每题均随机选取两项，记甲同学的两题得分为，乙同学的两题得分为，求的期望并判断谁的方案更优.21．（本题满分12分）已知椭圆的两个焦点为点在上，直线交于两点，直线的斜率之和为0.(1)求椭圆的方程；(2)求直线的斜率.22．（本题满分12分）已知函数（1）若，讨论的单调性；（2）若有两个零点，求实数的取值范围.
5数学参考答案一．单选：BADDBCDA二．多选：9.BD10.ABC11.ABD12.AC三．填空：13.2014.15.916.四．解答：17.（1）证明：当时，，又.……….4分数列是以3为首项，以3为公比的等比数列.……….5分（2）证明：由（1）知，数列是以3为首项，以3为公比的等比数列，所以，，所以，.……….7分所以，……….10分18.(1)解：若选①，由题意可知，，………2分所以……….3分因为所以，……….5分若选②，由正弦定理，得…2分所以，，即………4分
6………5分（2）解法一：由正弦定理，得因此，……….7分的周长，……….10分当时，因此，的周长的最大值为9.……….12分解法二：由余弦定理，得，……….7分因此，当且仅当时等号成立.……….11分的周长因此的周长的最大值为9.……….12分19.（1）证法一：在中，，，，满足.………2.分是直三棱柱，平面.平面.……….3分又，平面，平面平面.……….5分又平面.
7.……….6分证法二：是直三棱柱，平面.在平面内的射影为……….2分在中，，，，满足，.……….4分又平面，由三垂线定理可知……….6分（2）解法一：由（1）可知，平面，，.又，以为原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，.设平面的一个法向量为，则由得解得取，则.……….8分平面.平面的一个法向量是.……….9分.……….10分由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.……….12分解法二：取的中点为，连接，则由等腰三角形三线合一可知，是二面角的平面角.………9分
8在中，……….10分所以二面角的余弦值为.……….12分20.解：（1）因为甲同学两题得分合计为4分，所以这两道题每道题得2分，所以甲同学两题得分合计为4分的概率为：；………3分（2）甲同学的两题得分的取值范围为所以，，，所以的分布列为：………5分因此（分），………6分设乙同学第11题可能得分为，则的取值范围为，，设乙同学第12题可能得分为，则的取值范围为，，乙同学的两题得分的取值范围为，所以，，
9，，所以的分布列为：……….10分因此(分)，……….11分因为，所以甲同学的方案更优.……….12分21.(1)解法一：椭圆的焦点在轴上，设的方程为由已知，又因为所以因为点在上，所以从而有，……….2分解得或（舍去）.……….3分因此，从而椭圆的方程为.……….4分解法二：设则根据椭圆的定义，，所以，……….2分又由已知，所以……….3分从而椭圆的方程为.……….4分（2）解法一：设直线的方程为：代入，得
10……….6分设，因为点在椭圆上，所以………7分因为直线的斜率之和为0，所以在上式中以代，可得……….8分所以直线的斜率为……….12分解法二：设，，直线的方程为联立得，……….6分……….7分因为直线的斜率之和为0,所以即
11整理，得……….10分，（舍去）……….11分所以直线的斜率为.……….12分解法三：设，，则，两式相减，得①………6分同理可得，，……….7分因为直线的斜率之和为0，所以，即，整理，得②……….9分又整理，得③…….10分②-③，得④……….11分把④代入①，得所以直线的斜率为.………12分22.解:（1）由题意，
12的定义域为……….1分若，则，所以在上单调递减；……….2分若，令解得当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.……….4分(2)因为,所以有两个零点，即有两个零点.若，由（1）知，至多有一个零点.………6分若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为①当时，由于，故只有一个零点；……….7分②当时，由于，即，故没有零点；………8分③当时，由于，即又，故在上有一个零点.……9分存在，则又因此在上有一个零点.……….11分综上，实数的取值范围为……….12分
