黑龙江省齐齐哈尔市八校2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）Word版含答案

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齐市2020-2021学年度高二下学期八校期中联考数学试题（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知复数（为虚数单位），则（）A．B．C．D．2．用火柴棒按如图的方法搭三角形，按图示的规律搭下去，则第100个图形所用火柴棒数为（）A．199B．201C．203D．2053“余弦函数是偶函数，是余弦函数，所以是偶函数”以上推理（）A．大前提不正确B．结论正确C．小前提不正确D．全部正确4．用反证法证明：“若，则或”时，要做的假设是（）A．或B．且C．D．5．已知为虚数单位，若复数的虚部为1，则（）A．-2B．2C．D．6．某市为了缓解交通压力实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末（周六和周日）不限行．某公司有，，，，五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．已知车周四限行，车昨天限行，从今天算起，，两车连续四天都能上路行驶，车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是（）A．今天是周六B．今天是周四C．车周三限行D．车周五限行7．函数的图象在点处的切线的倾斜角为（）A．0B．1C．D．8．已知，，且，则下列结论不正确的是（）

1A．B．C．D．9．（）A．B．C．D．10．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．11．若点是曲线上任一点，则点到直线的最小距离是（）A．B．3C．D．12．设，在上有3个根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．若直角三角形的两直角边为、，斜边上的高为，则．类比以上结论，如图，在正方体的一角上截取三棱锥，为该棱锥的高，则有______．14．用数学归纳法证明时，则当时左端应在的基础上加上的项为______．15．下列命题中，真命题的序号有______．①当，则；②若：，则：；

2③是的充分不必要条件．④中，边是的充要条件．16．已知函数，若，，则实数的取值范围是______．三、解答题（共70分）17．（本小题满分10分）黑龙江某玩具厂研发生产一种新型儿童玩具，年固定成本为10万元，每生产千件另需投入3万元，设该厂年内共生产该新型玩具千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且满足函数关系式．（1）写出年利润万元关于该新型玩具年产量千件的函数解析式．（2）年产量为多少千件时，该厂在此新型玩具的生产中所获年利润最大？最大利润为多少？18．（本小题满分12分）数列满足，．（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列的前项和，并证明．19．（本小题满分12分）已知函数，，函数与函数的图象在交点处有公共切线．（1）求、的值；（2）证明：．20．（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为30°，求与平面所成角的正弦值．

321．（本小题满分12分）已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．、是椭圆的右顶点与上顶点，直线与椭圆相交于、两点．（1）求椭圆的方程；（2）当四边形面积取最大值时，求的值．22．（本小题满分12分）已知函数．（1）求函数的极值；（2）若直线与函数的图象有两个不同交点，，求证：．高二理科答案1—12DBCBBBCCDACA13．14．15．③④16．17．（1）依题意，（2）由（1）得，令，得或（舍去）

4∴当时，，单调递增，当时，，单调递减．∴当时，有最大值38.6，即当年产量为9千件时，该厂在此新型玩具的生产中所获得的利润最大且最大利润为38.6元．18．证明：（1）∵，∴∴，又∴是以1为首项，2为公差的等差数列．（2）因为，∴∴∴．19．解：（1），，由题意得解得，．（2）证明：令．在上为增函数，在上为减函数．

5，，即．20．（1）因为，为的中点，所以，且．连结．因为，所以为等腰直角三角形，且，．由知．由，，又知平面．（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．由已知得，，，，，，取平面的法向量．设，则．设平面的法向量为由，得，可取，所以．由已知得．所以．

6解得（舍去），．所以．又，所以．所以与平面所成角的正弦值为．21．（本小题12分）（1）由题意知：，．又圆与直线相切，，，故所求椭圆的方程为．（2）设，，其中，将代入椭圆的方程整理得：，故．①又点，到直线的距离分别为，．，所以四边形的面积为．

7当，即当时，上式取等号．所以当四边形面积的最大值时，．22．（1）∵∴．变化时，与变化情况如下0单调递减极小值单调递增∴当时，有极小值为，∴极小值为，无极大值．（2）设：，由（1）知，， 欲证：，需证：．由，，且在是单调递减函数，即证：∵即证：令，（）当时，，∴单调递增∴∴时，由时，∴∴得证．