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2022-2023学年高二上学期开学考试数学试题一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知向量，若与方向相同，则等于（）A.1B.C.D.2.已知复数，则A.B.C.D.3.某学校对甲、乙两个班级的某次成绩进行统计分析，制成了如图的条形图与扇形图，则下列说法一定正确的是（）A.甲班成绩优良人数超过了乙班成绩优良人数B.甲班平均成绩高于乙班平均成绩C.甲班学生比乙班学生发挥稳定D.甲班不及格率高于乙班不及格率4.在△中，为边上的中线，为的中点，则A.B.C.D.5.在ABC中，BC＝1，AB＝，C＝，则A＝（）A.或B.C.或D.6.“阿基米德多面体”
1也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美如图．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线AB与CD所成角的大小是（）A.30°B.45°C.60°D.120°7.已知，则（）A.B.C.D.8.如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，，，则四棱锥的外接球的体积为（）A.B.C.D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某人射箭9次，射中的环数依次为：7，8，9，7，6，9，8，10，8，关于这组数据，下列说法正确的是（）A.这组数据的众数是8B.这组数据的平均数是8C.这组数据的中位数是6
2D.这组数据方差是10.为不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（）A.若，那么B.若，那么C.若，那么D.若，则11.函数的部分图象如图所示，且满足，现将图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象.下列说法正确的是（）A.在上是增函数B.的图象关于对称C.是奇函数D.的最小正周期为12.点分别是正方体棱的中点，如图所示，则下列选项中正确的有（）①以正方体顶点为顶点的三棱锥的四个面中最多只有三个面是直角三角形；
3②过点的截面是正方形；③点在直线上运动时，总有；④点在直线上运动时，三棱锥的体积是定值；⑤点是正方体的面内的到点和的距离相等的点，则点的轨迹是一条线段.A.①③B.③④C.②⑤D.③⑤三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某校为了普及“一带一路”知识，举行了一次知识竞赛，满分10分，有10名同学代表班级参加比赛，已知学生得分均为整数，比赛结束后统计这10名同学得分情况如折线图所示，则这10名同学成绩的极差为______________，80%分位数是______________.14.如图所示，圆柱高为2，底面半径为1，则在圆柱侧面上从A出发经过母线到达的最短距离为___________.15.，，当时，的值域为___________.16.如图所示，在中，在边上，延长到，使得，若为非零常数，则的长度是___________.
4四､解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在锐角中，设角，，所对的边长分别为，，，且.（1）求的大小；（2）若，，点在边上，___________，求的长.请在①；②；③这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答(如选多个条件作答，按排列最前的解法评分).18.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件B：“两数之和是3的倍数”，事件C：“两个数均为偶数”．（I）写出该试验基本事件，并求事件A发生的概率；（II）求事件B发生的概率；（III）事件A与事件C至少有一个发生的概率．19.已知函数（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）若，求的值域.20.哈尔滨市第三中学校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三学年进行了一次网络模拟考试.全学年共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示）.已知这100人中分数段的人数比分数段的人数多6人.
5（1）根据频率分布直方图，求a，b的值，并估计抽取的100名同学数学成绩的中位数；（2）现用分层抽样的方法从分数在，的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数不在同一组内的概率.21.如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是的中点.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的余弦值.22.平面内一组基底及任一向量，若点在直线上或在平行于的直线上，我们把直线以及与直线平行的直线称为“等和线”，此时为定值，请证明该结论.【答案】D【答案】A【答案】D【答案】A
6【答案】B【答案】C【答案】B【答案】D【答案】ABD【答案】AC【答案】BCD【答案】BD【答案】①.②.【答案】【答案】【答案】##【详解】（1）在中，由正弦定理及，得.因为为锐角三角形，所以，所以.所以.又因为，所以.（2）若选①.在中，由余弦定理，得，所以，所以.在中，由余弦定理，得，即，在中，由余弦定理，得，
7即.又，所以.所以，所以.若选②.在中，，即，即，解得.若选③.在中，由余弦定理，得，所以.因为，又，所以，解得.【答案】（I）||=36，P（A）=（II）（III）【详解】（I）所有可能的基本事件为：共种.
8其中“两数之和为”的有共种，故.（II）由（I）得“两数之和是的倍数”的有共种，故概率为.（III）由（I）“两个数均为偶数”的有种，“两数之和为”的有共种，重复的有三种，故事件与事件至少有一个发生的有种，概率为.【答案】（1），（2）【小问1详解】，所以的最小正周期为，由，得，所以的单调增区间为，【小问2详解】当时，，故，所以的值域为.【答案】（1），；中位数为；（2）.【详解】（1）由频率分布直方图的面积和为1，则，得，又由100人中分数段的人数比分数段的人数多6人则，解得，
9中位数中位数为（2）设“抽取的2名同学的分数不在同一组内”为事件A，由题意知，在分数为的同学中抽取4人，分别用，，，表示，在分数为的同学中抽取2人，分别用，表示，从这6名同学中抽取2人所有可能出现的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，共15种抽取的2名同学的分数不在同一组内的结果有：，，，，，，，，共8种所以抽取的2名同学的分数不在同一组内的概率为.【详解】(1)如图所示，连结，等边中，，则，平面ABC⊥平面，且平面ABC∩平面，由面面垂直的性质定理可得：平面，故，由三棱柱的性质可知，而，故，且，由线面垂直的判定定理可得：平面，结合⊆平面，故.
10(2)在底面ABC内作EH⊥AC，以点E为坐标原点，EH,EC,方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系.设，则，,，据此可得：，由可得点的坐标为，利用中点坐标公式可得：，由于，故直线EF的方向向量为：设平面的法向量为，则：，据此可得平面的一个法向量为，此时，
11设直线EF与平面所成角为，则.【详解】解：如图，为直线上点，若，那么，从而有，即，另一方面，过点作直线，在上任作一点，连接，则，以为基底时，，所以，即，综上，为定值.
