苏北教育名校2022-2023学年高三8月调研测试——数学试题6

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苏北教育名校2022-2023学年高三8月调研测试——数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合，，，则实数的取值范围是（       ）A．B．C．D．2．已知直线与圆相交于A，B两点，则“”是“”的（     ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知的定义域是，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（       ）A．B．C．D．4．数列的前项和为，满足，，，则（       ）A．B．C．D．5．设直线与函数、、的图象在内交点的横坐标依次是、、，则（       ）A．B．C．D．6．已知，且，则的值为（       ）A．B．C．D．7．若曲线存在垂直于y轴的切线，则a的取值范围是(       )A．B．C．D．8．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东试卷第4页，共4页

1，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为（）．A．15B．C．D．二、多选题9．下列说法正确的是（             ）A．要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位；B．在上是增函数；C．若点为角的终边上一点，则；D．已知扇形的圆心角，所对的弦长为，则弧长等于.10．下列说法正确的是（          ）A．设，则关于x的方程有一根为-1的一个充要条件是;B．若，则C．是的必要不充分条件D．函数的最大值11．设等差数列前n项和为，公差，若，则下列结论中正确的有（       ）A．B．当时，取得最小值C．D．当时，n的最小值为2912．函数在上的大致图像可能为（       ）A．B．试卷第4页，共4页

2C．D．三、填空题13．在△中，，，且，则______．14．设P是函数图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是__________．15．已知数列的首项，其前项和满足，则______.四、双空题16．“以直代曲”是微积分中最基本、最朴素的思想方法，如在切点附近，可用曲线在该点处的切线近似代替曲线．曲线在点处的切线方程为_____________，利用上述“切线近以代替曲线”的思想方法计算所得结果为_____________（结果用分数表示）．五、解答题17．从下列二个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答：①；②；在中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，满足条件______．(1)求角B的大小；(2)若，求b的值．18．设函数.（1）若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围；（2）若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围；试卷第4页，共4页

3（3）解关于的不等式：.19．函数的定义域为，对于区间，如果存在，，使得，则称区间为函数的“区间”．（1）判断是否是函数的“区间”，并说明理由；（2）设为正实数，若是函数的“区间”，求的取值范围．20．已知函数.(1)若，求函数的极值；(2)当时，，求的取值范围.21．在等比数列中，(1)已知，，，求q和；(2)已知，，，求q和；(3)已知，，，求和；(4)已知，，，求q和n.22．已知函数，.(1)试讨论f（x）的单调性；(2)若对任意，均有，求a的取值范围；(3)求证:.试卷第4页，共4页

4参考答案：1．C【解析】【分析】利用数轴表示两个集合，结合题意可得答案.【详解】∵设集合，，，∴故选：C2．B【解析】【分析】先求出的充要条件，利用包含关系即可判断.【详解】因为直线与圆相交于A，B两点，设圆心到直线的距离为d，则等价于：，即，所以，解得：或.所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B3．B【解析】【分析】构造函数，利用导数判断函数单调性，根据单调性建立不等式求解即可.答案第16页，共16页

5【详解】令，则，所以函数在区间上单调递增，所以，解之得或，即原不等式的解集为，故选：B.4．A【解析】【分析】先分析出奇数项构成以1为首项，2为公比的等比数列，偶数项构成以3为首项，4为公比的等比数列，再分别求出奇数项的和与偶数项的和，相加即可.【详解】当n为奇数时，，所以奇数项构成以1为首项，2为公比的等比数列；当n为偶数时，，所以偶数项构成以3为首项，4为公比的等比数列；所以故选：A【点睛】等差（比）数列问题解决的基本方法：运用公式进行基本量代换和灵活运用性质．5．A【解析】【分析】根据直线与函数，，的图像在内交点的横坐标依次为，，，得到，再利用两角和的三角函数的公式求解.【详解】答案第16页，共16页

6因为直线与函数，，的图像在内交点的横坐标依次为，，，所以，所以，所以，所以.故选：A.6．C【解析】【分析】根据的范围可知，结合两角和的余弦公式、二倍角的正弦公式和同角三角函数的基本关系化简计算即可.【详解】因为，所以，即，又，则，故选：C.7．C【解析】【分析】问题等价于f(x)的导数在x＞0时有零点，再参变分离转化为函数交点问题.【详解】依题意，f(x)存在垂直与y轴的切线，即存在切线斜率的切线，答案第16页，共16页

7又，，∴有正根，即有正根，即函数y＝－2a与函数的图像有交点，令，则g(t)＝，∴g(t)≥g()＝，∴－2a≥，即a≤.故选：C.8．D【解析】【分析】设过点的南北方向直线与直线交于点，且，结合题中数据在中算出，然后在中算出，根据建立关于的方程解出，最后在中利用三角函数的定义加以计算，即可算出此时的船与灯塔的距离．【详解】解：设根据题意，可得中，设，，由此可得中，因此，即，解之得答案第16页，共16页

8由此可得中，，即此时的船与灯塔的距离为故选：D．【点睛】本题给出实际应用问题，求航行过程中船与灯塔的距离．着重考查了利用正余弦定理解三角形、直角三角形中三角函数的定义和方位角的概念等知识，属于中档题．9．ABCD【解析】【分析】利用三角函数的平移变换可判断A；利用余弦函数的单调性可判断B；利用三角函数的定义可判断C；利用弧长公式可判断D.【详解】对于A，将函数的图象向右平移个单位，可得，故A正确；对于B，由，则，故函数的单调递增区间为，当时，，故B正确；对于C，点为角的终边上一点，则，故C正确；对于D，扇形的圆心角，所对的弦长为，则扇形的半径为，答案第16页，共16页

9所以，故D正确.故选：ABCD【点睛】本题考查了三角函数的平移变换、余弦函数的单调性、三角函数的定义以及扇形的弧长公式，属于基础题.10．ABC【解析】【分析】利用充要条件的定义结合方程根的知识即可判断；利用指数与对数的互化及对数的运算即可判断；利用必要不充分条件的定义即可判断；取即可判断．【详解】对于，必要性证明：关于的方程有一根为，代入有，故必要性成立，充分性证明：若，则必有，故为程的一个根，故正确；对于，若，则，，则，，所以，故正确；对于，由可得，则，而由可得，则，故是的必要不充分条件，故正确；对于，函数，当时，，故错误，故选：．11．BC【解析】【分析】根据等差数列的前n项和公式，结合该数列的单调性逐一判断即可.【详解】答案第16页，共16页

10由.A：因为，所以有，因此本选项说法不正确；B：因为，所以该等差数列是单调递增数列，因为，所以当，或时，取得最小值，故本选项说法正确；C：因为，所以该等差数列是单调递增数列，因为，所以，因此本选项说法正确；D：因为，所以由，可得：，因此n的最小值为，所以本选项说法不正确，故选：BC12．ABC【解析】【分析】根据的取值分类讨论，研究函数性质后判断图象【详解】①当时，为奇函数，由时，时等性质可知A选项符合题意②当时，令，作出两函数图象，研究其交点数形结合可知在内必有一交点，记横坐标为，此时，故排除D选项时，；时，若在内无交点，则在恒成立，则图象如C选项所示，故C选项符合题意若在内有两交点，同理得B选项符合题意故选：ABC答案第16页，共16页

1113．或【解析】【详解】在△中，由正弦定理得，∴，又，∴，∴或．答案：或14．【解析】【详解】点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.答案第16页，共16页

1215．【解析】【分析】利用题干中的递推关系找出an与n的关系，进而计算出结果.【详解】由题知，，则.两式做差得.整理得.所以{}是以为首项，-1为公比的等比数列..故答案为【点睛】方法点睛：在处理数列的通项与前n项和的相关问题时，一定要抓住题干中给出的递推关系，利用递推关系将抽象的数列问题转化为我们熟悉的等差数列、等比数列问题，从而运用我们所学的等差、等比数列的知识取解决问题.16．        【解析】【分析】利用导数几何意义可求得切线斜率，由此可得切线方程；根据切线方程可得，代入求解即可.【详解】由得：，在点处的切线斜率，则切线方程为：；由题意知：，，即，，即.故答案为：；.答案第16页，共16页

1317．(1)(2)【解析】【分析】（1）选①：由正弦定理化简得到，即可求得的大小；选②：根据题意化简得到，利用余弦定理求得，即可求得的大小；（2）利用面积公式，列出方程求得，结合余弦定理，即可求解.(1)解：选①：因为，由正弦定理得，因为，可得，所以，即，又因为，所以.选②：因为，可得，由余弦定理得，因为，所以.(2)解：因为，可得，解得，由余弦定理得，解得.18．(1)；(2)；(3)分类求解，答案见解析.【解析】【分析】(1)将给定的不等式等价转化成，按与并结合二次函数的性质讨论存在实数使不等式成立即可；(2)将给定的不等式等价转化成答案第16页，共16页

14，根据给定条件借助一次函数的性质即可作答；(3)将不等式化为，分类讨论并借助一元二次不等式的解法即可作答.【详解】(1)依题意，有实数解，即不等式有实数解，当时，有实数解，则，当时，取，则成立，即有实数解，于是得，当时，二次函数的图象开口向下，要有解，当且仅当，从而得，综上，，所以实数的取值范围是；(2)不等式对于实数时恒成立，即，显然，函数在上递增，从而得，即，解得，所以实数的取值范围是；(3)不等式，当时，，当时，不等式可化为，而，解得，当时，不等式可化为，当，即时，，当，即时，或，当，即时，或，所以，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为，答案第16页，共16页

15当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为.19．（1）不是，理由见解析；（2）.【解析】【分析】(1)根据函数值的范围可判定不是函数的“区间”；(2)根据新定义和余弦函数的性质可得存在k，，使得，再分类讨论即可求出的取值范围.【详解】(1)不是函数的“区间”.理由如下：因为，所以对于任意的，，都有，所以不是函数的“区间”.(2)因为是函数的“区间”，所以存在，，使得.所以所以存在，使得不妨设，又因为，所以，所以.即在区间内存在两个不同的偶数.①当时，区间的长度，所以区间内必存在两个相邻的偶数，故符合题意.答案第16页，共16页

16②当时，有，所以.当时，有，即.所以也符合题意.当时，有，即.所以符合题意.当时，有，此式无解.综上所述，的取值范围是.20．(1)，无极大值(2)【解析】【分析】（1）根据题意求出函数的导数，并判断导数的正负，从而求得函数极值；（2）求出函数的导数，由零点存在定理可知其在区间上存在零点，根据其单调性，判断其正负，确定函数的最小值，令最小值大于等于，求得答案.(1)当时，，，(),显然在上是递增的，且，故时，，时，，∴在上递减，上递增，∴，无极大值.答案第16页，共16页

17(2)由可知：，而，在上单调递增，且，，（这是因为,），∴存在唯一的使，即，且当时，，递减；当时，，递增，∴令,解得或，∴.【点睛】本题考查了利用导数求函数的极值以及用导数解决不等式成立时的参数的范围问题，一般思路是求导，判断导数的正负，从而求得极值或最值，难点在于用导数求解不等式成立时的参数范围时，要巧妙的应用零点满足的方程进行整体代换，这样就可以求出零点的范围，进而解决问题.21．(1)，(2)或(3)(4)【解析】【分析】（1）由基本量法列方程直接可解；（2）由基本量法列方程直接可解；答案第16页，共16页

18（3）由基本量法列方程直接可解；（4）由基本量法列方程直接可解,(1)由题知，解得，所以(2)若，则，故由题知，解得或(3)由题知，解得(4)易知，所以由题知，解得22．(1)答案见解析(2)(3)证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，讨论a的取值情况，根据导数正负，判断函数的单调性；（2）分类讨论，说明当时,符合题意；当时,不合题意，当时令函数的最大值小于等于0，求得答案;（3）利用当时，即，从而答案第16页，共16页

19，进而，再采用累加，然后结合裂项求和的方法证明结论.(1),             若则，在上单调递减；                  若，则由,得,当时,在上单调递增,            当时,,在上单调递减.(2)当时,符合题意；                              当时,由（1）知在上单调递减，而，不合题意；                  当时,结合（1）得，，即，得，综上，的取值范围是；(3)证明：由（2）知，当时，即                       所以，所以，                  所以，即得证.答案第16页，共16页