两角和与差的正弦、余弦、正切公式

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高中数学——两角和与差的正弦、余弦、正切公式命题范围：两角和与差的正弦、余弦、正切公式．　[基础强化]一、选择题1．sin20°cos10°－cos160°sin10°＝(　　)A．－　B．　C．－　D．2．已知tanα＝2，则tan(α－)＝(　　)A．B．C．D．－33．若sinα＝，则cos2α＝(　　)A．B．C．－D．－4．cos105°－cos15°＝(　　)A．B．－C．D．－5.＝(　　)A．B．C．D．16．[2022·包头模拟]已知cosα＋cos(α－)＝1，则cos(α－)等于(　　)A．B．C．D．7．已知A＋B＝45°，则(1＋tanA)(1＋tanB)的值是(　　)A．16B．8C．4D．28．已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，则β等于(　　)A．B．

1C．D．π9．[2020·全国卷Ⅲ]已知2tanθ－tan(θ＋)＝7，则tanθ＝(　　)A．－2B．－1C．1D．2二、填空题10．[2022·陕西宝鸡中学模拟]sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)＝________．11．已知cos(α－)＋sinα＝，则sin(α＋)＝________．12．[2022·甘肃、青海、宁夏联考]若tan(α＋2β)＝2，tanβ＝－3，则tan(α＋β)＝________，tanα＝________．[能力提升]13．[2022·福建漳州三模]英国化学家、物理学家享利·卡文迪许被称为第一个能测出地球质量的人，卡文迪许是从小孩玩的游戏(用一面镜子将太阳光反射到墙面上，我们只要轻轻晃动一下手中的镜子，墙上的光斑就会出现大幅度的移动，如图1)得到灵感，设计了卡文迪许扭秤实验来测量万有引力，由此计算出地球质量，他在扭秤两端分别固定一个质量相同的铅球，中间用一根韧性很好的钢丝系在支架上，钢丝上有个小镜子，用激光照射镜子，激光反射到一个很远的地方，标记下此时激光所在的点，然后用两个质量一样的铅球同时分别吸引扭秤上的两个铅球(如图2)，由于万有引力作用，扭秤微微偏转，但激光所反射的点却移动了较大的距离，他用此计算出了万有引力公式中的常数G，从而计算出了地球的质量．在该实验中，光源位于刻度尺上点P处，从P出发的光线经过镜面(点M处)反射后，反射光线照射在刻度尺的点Q处，镜面绕M点顺时针旋转α角后，反射光线照射在刻度尺的点Q′处，若△PMQ是正三角形．PQ＝a，QQ′＝b(如图3)，则下列等式中成立的是(　　)A.tanα＝B．tanα＝C．tan2α＝D．tan2α＝14．已知锐角α，β满足sinα＝，cosβ＝，则α＋β等于(　　)A．B．或C．D．2kπ＋(k∈Z)15．[2022·西北工业大学月考]已知cosβ－3sinα＝2，sinβ＋3cosα＝，则sin(β－α)等于(　　)

2A．－B．C．－D．16．[2022·河北五校联考]已知x，y∈(0，)，sin(x＋y)＝2sin(x－y)，则x－y的最大值为(　　)A．B．C．D．

3答案1．D　sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin30°＝.2．B　tan(α－)＝＝＝.3．B　cos2α＝1－2sin2α＝1－＝.4．D　cos105°－cos15°＝－(sin15°＋cos15°)＝－sin(15°＋45°)＝－sin60°＝－.5．A　＝＝＝＝.6．D　∵cosα＋cos(α－)＝1，∴cosα＋cosα＋sinα＝cosα＋sinα＝(cosα＋sinα)＝cos(α－)＝1，∴cos(α－)＝.7．D　∵A＋B＝45°，∴tan(A＋B)＝＝1，∴tanA＋tanB＝1－tanAtanB.∴(1＋tanA)(1＋tanB)＝1＋tanA＋tanB＋tanAtanB＝2.8．C　∵cosα＝，0<α<，∴sinα＝＝，又cos(α－β)＝，0<β<α<，∴0<α－β<，∴sin(α－β)＝＝，cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝＝，又0<β<，∴β＝.9．D　2tanθ－tan＝2tanθ－＝7，整理可得tan2θ－4tanθ＋4＝0，∴tanθ＝2，故选D.

410．0解析：sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°＋60°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°)cos60°＋cos(θ＋15°)sin60°＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°)＋cos(θ＋15°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°)－cos(θ＋15°)＋cos(θ＋45°)＝sin30°sin(θ＋15°)－cos30°cos(θ＋15°)＋cos(θ＋45°)＝－cos(θ＋45°)＋cos(θ＋45°)＝0.11．－解析：由cos(α－)＋sinα＝，得cosα＋sinα＋sinα＝，∴cosα＋sinα＝，∴sin(α＋)＝.∴sin(α＋π)＝sin(α＋＋π)＝－sin(α＋)＝－.12．－1　解析：∵tan(α＋2β)＝2，tanβ＝－3，∴tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)＝＝＝－1.tanα＝tan(α＋β－β)＝＝.13．C　过点M作MD⊥PQ，因为△PMQ是正三角形．PQ＝a，QQ′＝b，则DQ′＝a＋b，MD＝a，∠MQ′D＝60°－2α，所以tan∠MQ′D＝tan(60°－2α)＝＝＝，则＝＝，解得tan2α＝.14．C　由sinα＝，cosβ＝，且α，β为锐角，可知cosα＝，sinβ＝，故cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝，又0<α＋β<π，故α＋

5β＝.15．C　由cosβ－3sinα＝2得，(cosβ－3sinα)2＝cos2β－6cosβsinα＋9sin2α＝4，　①由sinβ＋3cosα＝得，(sinβ＋3cosα)2＝sin2β＋6sinβcosα＋9cos2α＝.　②①＋②得10＋6(sinβcosα－cosβsinα)＝10＋6sin(β－α)＝，∴sin(β－α)＝－.16．B　由sin(x＋y)＝2sin(x－y)得sinxcosy＋cosxsiny＝2sinxcosy－2cosxsiny，则tanx＝3tany，所以tan(x－y)＝＝＝≤，当且仅当tany＝时等号成立，由于f(x)＝tanx在x∈(0，)上单调递增，又x，y∈(0，)，则x－y的最大值为.