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《1.4.2 充要条件-2021-2022学年高一数学上学期同步精讲课件(人教A版2019必修第一册)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1.4充分条件与必要条件1.4.2充要条件
1问题导入思考1：下列“若,则”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；(3)若一元二次方程有两个不相等的实数根，则；(4)若是空集，则与均是空集.将命题“若,则”中的条件和结论互换，就得到一个新的命题“若,则”，称这个命题为原命题的逆命题.
2新知探索思考1：下列“若,则”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；(3)若一元二次方程有两个不相等的实数根，则；(4)若是空集，则与均是空集.不难发现，上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题；命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题；命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题.
3新知探索如果“若,则”和它的逆命题“若,则”均是真命题，即既有，又有，就记作.此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们就说是的充分必要条件，简称为充要条件.显然，如果是的充要条件，那么也是的充要条件.概括地说，如果，那么与互为充要条件.上述命题(1)(4)中的与互为充要条件.
4例析例3.下列各题中，哪些是的充要条件？(1)：四边形是正方形，四边形的对角线互相垂直且平分；(2)：两个三角形相似，两个三角形三边成比例；(3)：，(4)：是一元二次方程的一个根，.解：(1)因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形(为什么)，所以，所以不是的充要条件.(2)因为“若,则”是相似三角形的性质定理，“若,则”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即，所以是的充要条件.(3)因为时，不一定成立(为什么)，所以，所以不是的充要条件.(4)因为“若,则”与“若,则”均为真命题，即，所以是的充要条件.
5新知探索思考2：通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？可以发现，“四边形的两组对角分别相等”“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”和“四边形的两条对角线互相平分”既是“四边形是平行四边形”的充分条件，又是必要条件.另外，我们再看平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，它表明“四边形的两组对边分别平行”也是“四边形是平行四边形”的一个充要条件.
6新知探索类似地，利用“两个三角形全等”的充要条件，可以给出“三角形全等”的其他定义形式，而且这些定义是相互等价的；同样，利用“两个三角形相似”的充要条件，可以给出“相似三角形”其他定义形式，这些定义也是相互等价的；等等.上面的这些充要条件从不同角度刻画了“平行四边形”这个概念，据此我们可以给出平行四边形的其他定义形式.例如：两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形；对角线互相平分的四边形叫做平行四边形.
7例析例4.已知：的半径为，圆心到直线的距离为.求证：是直线与相切的充要条件.证明：设：直线与相切.(1)充分性()：如图，作于点，则若则点在上.在直线上任取一点(易于点),连接在中，所以，除点外直线上的点都在的外部，即直线与仅有一个公共点.所以直线与相切.(2)必要性()：若直线与相切，不妨设切点为，则因此，.由(1)(2)可得，是直线与相切的充要条件.
8练习题型一：充要条件的判断例1.(多选)下列各题中，是的充要条件的有().A.为二次函数B.C.四边形是正方形，四边形的对角线互相垂直平分D.或答案：AD.解：对于A，当时，可得为二次函数，当为二次函数时，可得故是的充要条件，故A正确.对于B，当时，或故是的不必要条件，故B错误.对于C，当四边形对角线互相平分时，不能推出四边形是正方形，故是的不必要条件，故C错误.对于D，当或时，两边同时平方可得解得或故是的充要条件，故D正确.
9练习变1.下列各题中，哪些是的充要条件？(1)且；(2)三角形是等边三角形，三角形是等腰三角形；(3)解：(1)∵∴是的充要条件.(2)∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形∴不是的充要条件，是的充分不必要条件..(3)∵,∴是的充要条件.
10练习方法技巧：判断充分、必要条件的步骤认清找推式下结论分清哪个是条件，哪个是结论判断“若，则”及“若，则”的真假根据推论及定义下结论
11练习题型二：利用充分、必要条件求参数例2.已知(1)当为何值时，是的充分不必要条件？(2)当为何值时，是的必要不充分条件？(3)当为何值时，是的充要条件？解：(1)∵是的充分不必要条件，∴，∴.∴当时，∴是的充分不必要条件.(2)∵是的必要不充分条件，∴，∴.∴当时，是的必要不充分条件.(3)∵是的充要条件，∴，此时∴当时，是的充要条件.
12练习变2.已知(1)当为何值时，是的充分不必要条件？(2)当为何值时，是的必要不充分条件？解：(1)若是的充分不必要条件，即但，亦即是的必要不充分条件，∴，∴.∴当时，是的必要不充分条件，即是的充分不必要条件.(2)若是的必要不充分条件，即但，亦即是的充分不必要条件，∴，∴.∴当时，∴是的充分不必要条件，即是的必要不充分条件.
13练习方法技巧：由条件关系求参数的值(范围)的步骤(1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系.(2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解.
14练习题型三：充要条件的证明与探究例3.求证：一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是证明：证明必要性：若“一元二次方程有一正根和一负根”成立，由韦达定理可得，∴成立.证明充分性：若“”成立，此时一元二次方程有一正根和一负根.所以“一元二次方程有一正根和一负根”的充要条件是“”.
15练习变3.关于的方程的所有根的和为2的充要条件是______.解：当时，方程为解得：当时，方程为一元二次方程，设是方程的解，则若解方程解得：或1；当或1时，即当或1时，方程无解，故时符合题意.
16练习方法技巧：充要条件的证明思路根据充要条件的定义，证明充要条件对要从充分性和必要性两个方面分别证明.一般地，证明“成立的充要条件为”:(1)充分性，把当作已知条件，结合命题的前提条件，推出；(2)必要性，把当作已知条件，结合命题的前提条件，推出.
17课堂小结&作业课堂小结：(1)充要条件；(2)充分、必要条件的判断.作业：(1)整理本节课的题型；(2)课本P22的练习13题；(3)课本P22的习题1.4的3、4、5.
