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《1.4.2 充要条件-2021-2022学年高一数学上学期同步精讲课件(人教A版2019必修第一册)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1.4.2充要条件
1问题导入思考1：下列“若�,则�”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；(3)若一元二次方程��2+��+�=0有两个不相等的实数根，则��<0；(4)若�∪�是空集，则�与�均是空集.将命题“若�,则�”中的条件�和结论�互换，就得到一个新的命题“若�,则�”，称这个命题为原命题的逆命题.
2新知探索思考1：下列“若�,则�”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；(3)若一元二次方程��2+��+�=0有两个不相等的实数根，则��<0；(4)若�∪�是空集，则�与�均是空集.不难发现，上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题；命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题；命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题.
3新知探索如果“若�,则�”和它的逆命题“若�,则�”均是真命题，即既有�⇒�，又有�⇒�，就记作�⇔�.此时，�既是�的充分条件，也是�的必要条件，我们就说�是�的充分必要条件，简称为充要条件.显然，如果�是�的充要条件，那么�也是�的充要条件.概括地说，如果�⇔�，那么�与�互为充要条件.上述命题(1)(4)中的�与�互为充要条件.
4例析例3.下列各题中，哪些�是�的充要条件？(1)�：四边形是正方形，�：四边形的对角线互相垂直且平分；(2)�：两个三角形相似，�：两个三角形三边成比例；(3)�：?>0，�：�>0，�>0；(4)�：�=1是一元二次方程��2+��+�=0的一个根，�：�+�+�=0(�≠0).解：(1)因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形(为什么)，所以�⇏�，所以�不是�的充要条件.(2)因为“若�,则�”是相似三角形的性质定理，“若�,则�”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即�⇔�，所以�是�的充要条件.(3)因为?>0时，�>0，�>0不一定成立(为什么)，所以�⇏�，所以�不是�的充要条件.(4)因为“若�,则�”与“若�,则�”均为真命题，即�⇔�，所以�是�的充要条件.
5新知探索思考2：通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？可以发现，“四边形的两组对角分别相等”“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”和“四边形的两条对角线互相平分”既是“四边形是平行四边形”的充分条件，又是必要条件.另外，我们再看平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，它表明“四边形的两组对边分别平行”也是“四边形是平行四边形”的一个充要条件.
6新知探索上面的这些充要条件从不同角度刻画了“平行四边形”这个概念，据此我们可以给出平行四边形的其他定义形式.例如：两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形；对角线互相平分的四边形叫做平行四边形.类似地，利用“两个三角形全等”的充要条件，可以给出“三角形全等”的其他定义形式，而且这些定义是相互等价的；同样，利用“两个三角形相似”的充要条件，可以给出“相似三角形”其他定义形式，这些定义也是相互等价的；等等.
7例析例4.已知：⊙�的半径为�，圆心�到直线�的距离为�.求证：�=�是直线�与⊙�相切的充要条件.证明：设�：�=�，�：直线�与⊙�相切.(1)充分性(�⇒�)：如图，作?⊥�于点�，则?=�.若�=�，则点�在⊙�上.在直线�上任取一点�(易于点�),连接��.在?∆?�中，��>?=�.所以，除点�外直线�上的点都在⊙�的外部，即直线�与⊙�仅有一个公共点�.所以直线�与⊙�相切.(2)必要性(�⇒�)：若直线�与⊙�相切，不妨设切点为�，则?⊥�.因此，�=?=�.由(1)(2)可得，�=�是直线�与⊙�相切的充要条件.
8练习题型一：充要条件的判断例1.(多选)下列各题中，�是�的充要条件的有().A.�:�≠0，�:�=��2+��+�为二次函数B.�:�>0，�>0，�:?>0C.�:四边形是正方形，�:四边形的对角线互相垂直平分D.�:�=1或�=2，�：�−1=�−1.答案：AD.解：对于A，当�≠0时，可得�=��2+��+�为二次函数，当��2+��+�为二次函数时，可得�≠0，故�是�的充要条件，故A正确.对于B，当?>0时，�>0，�>0或�<0，�<0，故�是�的不必要条件，故B错误.对于C，当四边形对角线互相平分时，不能推出四边形是正方形，故�是�的不必要条件，故C错误.对于D，当�=1或�=2时，两边同时平方可得(�−1)2=�−1，解得�=1或�=2，故�是�的充要条件，故D正确.
9练习变1.下列各题中，哪些�是�的充要条件？(1)�:−1≤�≤5，�:�≥−1且�≤5；(2)�:三角形是等边三角形，�:三角形是等腰三角形；(3)�:�∩�=�，�:���⊆���.解：(1)∵−1≤�≤5⇔�≥−1且��≤5∴�是�的充要条件.(2)∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形∴�不是�的充要条件，�是�的充分不必要条件..(3)∵�∩�=�⇔�⊆�⇔���⊆���,∴�是�的充要条件.
10练习方法技巧：判断充分、必要条件的步骤认清�,�分清哪个是条件，哪个是结论找推式判断“若�，则�”及“若�，则�”的真假下结论根据推论及定义下结论
11练习题型二：利用充分、必要条件求参数例2.已知�:1≤�≤�(�≥1)，�:1≤�≤2.(1)当�为何值时，�是�的充分不必要条件？(2)当�为何值时，�是�的必要不充分条件？(3)当�为何值时，�是�的充要条件？解：(1)∵�是�的充分不必要条件，∴{�|1≤�≤�}⊊{�|1≤�≤2}，∴1≤�<2.∴当1≤�<2时，∴�是�的充分不必要条件.(2)∵�是�的必要不充分条件，∴{�|1≤�≤2}⊊{�|1≤�≤�}，∴�>2.∴当�>2时，�是�的必要不充分条件.(3)∵�是�的充要条件，∴{�|1≤�≤2}={�|1≤�≤�}，此时�=2.∴当�=2时，�是�的充要条件.
12练习变2.已知�:1≤��≤�(�≥1)，�:1≤�≤2.(1)当�为何值时，�是�的充分不必要条件？(2)当�为何值时，�是�的必要不充分条件？解：(1)若�是�的充分不必要条件，即�⇏�，但�⇏�，亦即�是�的必要不充分条件，∴{�|1≤�≤2}⊊{�|1≤�≤�}，∴�>2.∴当�>2时，�是�的必要不充分条件，即�是�的充分不必要条件.(2)若�是�的必要不充分条件，即�⇒�，但�⇏�，亦即�是�的充分不必要条件，∴{�|1≤�≤�}⊊{�|1≤�≤2}，∴1≤�<2.∴当1≤�<2时，∴�是�的充分不必要条件，即�是�的必要不充分条件.
13练习方法技巧：由条件关系求参数的值(范围)的步骤(1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系.(2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解.
14练习题型三：充要条件的证明与探究例3.求证：一元二次方程��2+��+�=0有一正根和一负根的充要条件是��<0.证明：证明必要性：若“一元二次方程��2+��+�=0有一正根和一负根”成�立，由韦达定理可得，�1�2=<0，∴��<0成立.�证明充分性：若“��<0”成立，此时一元二次方程��2+��+�=0有一正根和一负根.所以“一元二次方程��2+��+�=0有一正根和一负根”的充要条件是“��<0”.
15练习变3.关于�的方程�2�2−(�+1)�+2=0的所有根的和为2的充要条件是______.解：当�=0时，方程为−�+2=0，解得：�=2；�+1当�≠0时，方程为一元二次方程，设�1，�2是方程的解，则�1+�2=2，��+11若�1+�2=2，解方程2=2，解得：�=−或1；�211当�=−或1时，∆<0，即当�=−或1时，方程无解，22故时符合题意.
16练习方法技巧：充要条件的证明思路根据充要条件的定义，证明充要条件对要从充分性和必要性两个方面分别证明.一般地，证明“�成立的充要条件为�”:(1)充分性，把�当作已知条件，结合命题的前提条件，推出�；(2)必要性，把�当作已知条件，结合命题的前提条件，推出�.
17课堂小结&作业课堂小结：(1)充要条件；(2)充分、必要条件的判断.作业：(1)整理本节课的题型；(2)课本P22的练习1~3题；(3)课本P22的习题1.4的3、4、5.
