3.2 简单的三角恒等变换 题组训练- 高一上学期数学人教A版必修4（Word版，含解析）

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第三章　三角恒等变换3.2　简单的三角恒等变换基础过关练题组一　求值1.(陕西高一期末)已知cos2α-π6=-725,0<α<π2,则cosα-π12=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.-35B.35C.45D.-452.设5π<θ<6π,cosθ2=a,则sinθ4=(　　)A.1+a2B.1-a2C.-1+a2D.-1-a23.若f(x)=2tanx-2sin2x2-1sinx2cosx2,则fπ12的值是(　　)A.-433B.8C.43D.-434.已知sinα2-cosα2=-15,450°<α<540°,求tanα2的值.题组二　化简5.函数f(x)=3cos2x2+4sin2x4cos2x4-2(0

16.(吉林蛟河一中高一月考)化简1-sin6-1+sin6=(　　)A.2sin3B.2cos3C.-2sin3D.-2cos37.化简2+cos2-sin21的结果是(　　)A.-cos1B.cos1C.3cos1D.-3cos18.化简sinα2+cosα22+2sin2π4-α2得(　　)A.2+sinαB.2+2sinα-π4C.2D.2+2sinα+π49.若θ∈(π,2π),试化简1-cosθ1+cosθ.10.已知π<α<3π2,化简:

21+sinα1+cosα-1-cosα+1-sinα1+cosα+1-cosα.题组三　三角恒等变换的综合应用11.函数f(x)=cos2x+π4,x∈R,则f(x)(　　)A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数,也是偶函数D.既不是奇函数,也不是偶函数12.(山东冠县实验高级中学高一期中)已知函数f(x)=3cos2x-sin2x+3,则函数(　　)A.f(x)的最小正周期为π,最大值为5B.f(x)的最小正周期为π,最大值为6C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为5D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为6

313.(广东中山高一下期末)求下列各式的值:(1)1sin10°-3cos10°;(2)sin50°(1+3tan10°)-cos20°cos80°1-cos20°.14.已知向量a=cosx,12,b=(3sinx,-cos2x),x∈R,设函数f(x)=a·b.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)的单调递减区间;(3)求函数f(x)在0,π2上的最大值和最小值.

415.(北京朝阳高一上期末质检)已知函数f(x)=sin2x-23sin2x+3.(1)若点P32,-12在角α的终边上,求tan2α和f(α)的值;(2)求函数f(x)的最小正周期;(3)若x∈0,π2,求函数f(x)的最小值.16.(浙江温州高一上期末)已知向量a=(sinx,2sinx),b=(3cosx,0),设函数f(x)=|a+b|.(1)解不等式f(x)≥5;(2)是否存在实数t∈(3,+∞),使函数y=f(x)在(3,t)内单调递增,若存在,求出t的取值范围;若不存在,请说明理由.

5能力提升练一、选择题1.(广西河池中学高一下月考,★★☆)设a=12cos2°-32sin2°,b=2tan14°1-tan214°,c=1-cos50°2,则有　(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.a

6D.向右平移π6个单位长度4.(河南高一期末,★★☆)若函数f(x)=sinx+cosx-2sinxcosx+1-a有零点,则实数a的取值范围为(　　)A.2,94B.[-2,2]C.[-2,2]D.-2,945.(河南郑州高一下期末,★★☆)设f(x)=asin2x+bcos2x,ab≠0,若f(x)≤fπ6对任意x∈R成立,则下列命题中正确命题的个数是(　　)(1)f11π12=0;(2)f7π10

79.(乌鲁木齐市第四中学高一期中,★★☆)已知向量a=(23sinx-cosx,sinx),b=(cosx,sinx),f(x)=a·b+1.(1)求f(x)的单调递减区间;(2)当x∈-π12,π6时,求f(x)的值域.

8答案全解全析第三章　三角恒等变换3.2　简单的三角恒等变换基础过关练1.B　因为cos2α-π6=2cos2α-π12-1=-725,所以cosα-π12=±35,又因为0<α<π2,所以cosα-π12=35.2.D　∵5π<θ<6π,∴θ4∈5π4,3π2,∴sinθ4=-1-cosθ22=-1-a2.3.B　f(x)=2tanx-2sin2x2-sin2x2-cos2x212sinx=2tanx+cosx12sinx=2tanx+1tanx.又tanπ12=sinπ12cosπ12=2sinπ12cosπ122cos2π12=sinπ61+cosπ6=13+2,∴fπ12=2×13+2+3+2=8.4.解析　由题意得sinα2-cosα22=15,即1-sinα=15,得sinα=45.∵450°<α<540°,∴cosα=-35,∴tanα2=1-cosαsinα=1-(-35)45=2.5.B　f(x)=3cos2x2+4sin2x4cos2x4-2=3cos2x2+(2sinx4cosx4) 2-2=3cos2x2+sin2x2-2=3×1+cosx2+1-cosx2-2=|cosx|(0

98.C　原式=1+2sinα2cosα2+1-cos2π4-α2=2+sinα-cosπ2-α=2+sinα-sinα=2.9.解析　∵θ∈(π,2π),∴sinθ<0,∴1-cosθ1+cosθ=1-cos2θ1+cosθ=-sinθ1+cosθ=-tanθ2.10.解析　原式=sinα2+cosα222cosα2-2sinα2+sinα2-cosα222cosα2+2sinα2.∵π<α<3π2,∴π2<α2<3π4,∴cosα2<0,sinα2>0,∴原式=sinα2+cosα22-2sinα2+cosα2+sinα2-cosα222sinα2-cosα2=-sinα2+cosα22+sinα2-cosα22=-2cosα2.11.D　由cos2x=2cos2x-1,得f(x)=cos2x+π4=1+cos(2x+π2)2=12+12cos2x+π2=12-sin2x2,所以f(-x)=12+sin2x2,故f(x)≠f(-x),且-f(x)≠f(-x),所以该函数既不是奇函数,也不是偶函数.12.B　依题意f(x)=3×1+cos2x2-1-cos2x2+3=2cos2x+4,故最小正周期为T=2π2=π,最大值为2+4=6,故选B.13.解析　(1)原式=cos10°-3sin10°sin10°cos10°=2(12cos10°-32sin10°)12sin20°=4cos(10°+60°)sin20°=4sin20°sin20°=4.(2)原式=sin50°cos10°(cos10°+3sin10°)-cos20°cos80°2sin210°=cos40°cos10°·2sin(10°+30°)-cos20°2sin210°

10=sin80°cos10°-cos20°2sin210°=1-cos20°22(1-cos20°)=2.14.解析　(1)f(x)=a·b=3sinx·cosx-12cos2x=32sin2x-12cos2x=sin2x-π6,故函数f(x)的最小正周期T=2π2=π.(2)令π2+2kπ≤2x-π6≤3π2+2kπ,k∈Z,得π3+kπ≤x≤5π6+kπ,k∈Z,故函数f(x)的单调递减区间为kπ+π3,kπ+5π6(k∈Z).(3)由(1)知f(x)=sin2x-π6,∵x∈0,π2,∴2x-π6∈-π6,5π6,结合正弦函数的图象可得函数f(x)在0,π2上的最大值为1,最小值为-12.15.解析　(1)因为点P32,-12在角α的终边上,所以sinα=-12,cosα=32,tanα=-33,tan2α=2tanα1-tan2α=2×(-33)1-13=-3.f(α)=sin2α-23sin2α+3=2sinαcosα-23sin2α+3=2×-12×32-23×-122+3=0.(2)f(x)=sin2x-23sin2x+3=sin2x+3cos2x=2sin2x+π3,所以f(x)的最小正周期为π.(3)因为x∈0,π2,所以π3≤2x+π3≤4π3,所以-32≤sin2x+π3≤1,所以当2x+π3=4π3,即x=π2时,f(x)有最小值-3.16.解析　(1)由题意得,f(x)=(sinx+3cosx)2+(2sinx)2

11=4+3sin2x-cos2x=4+2sin(2x-π6).令4+2sin(2x-π6)≥5,得sin2x-π6≥12,得π6+2kπ≤2x-π6≤5π6+2kπ(k∈Z).∴不等式的解集是xkπ+π6≤x≤kπ+π2,k∈Z.(2)令2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2,k∈Z,解得kπ-π6≤x≤kπ+π3,k∈Z,∴f(x)的单调递增区间是kπ-π6,kπ+π3(k∈Z).由题知当k=1时,f(x)在5π6,4π3内单调递增,且3∈5π6,4π3满足条件,所以当3

123.C　y=23cos2x+sin2x-3=3(2cos2x-1)+sin2x=3cos2x+sin2x=232cos2x+12sin2x=2sin2x+π3=2sin2x+π6,故只需将函数y=2sin2x的图象向左平移π6个单位长度.故选C.4.D　令f(x)=0,得a=sinx+cosx-2sinxcosx+1,∵(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx,令t=sinx+cosx=2sinx+π4∈[-2,2],则2sinxcosx=t2-1,∴sinx+cosx-2sinx·cosx+1=t-(t2-1)+1=-t2+t+2,构造函数g(t)=-t2+t+2,其中-2≤t≤2,则g(t)=-t-122+94,∴g(t)max=g12=94,g(t)min=g(-2)=-2,∴当-2≤a≤94时,直线y=a与函数y=g(t)的图象在区间[-2,2]上有交点,∴实数a的取值范围是-2,94,故选D.5.B　f(x)=a2+b2sin(2x+θ)其中tanθ=ba.由于f(x)≤fπ6对任意x∈R成立,故x=π6是函数f(x)图象的对称轴,所以2×π6+θ=kπ+π2,k∈Z,∴θ=kπ+π6,k∈Z,所以f(x)=a2+b2sin2x+kπ+π6=±a2+b2sin2x+π6.对于(1),f11π12=±a2+b2sin2×11π12+π6=0,故(1)正确.对于(2),计算得f7π10=fπ5,故(2)错误.对于(3),根据f(x)的解析式可知,f(x)是非奇非偶函数,故(3)正确.对于(4),由于f(x)的解析式有两种情况,故单调性要分情况讨论,故(4)错误.对于(5),要使经过点(a,b)的直线与函数f(x)没有交点,则此直线和x轴平行,且|b|>a2+b2,两边平方得b2>a2+b2,与已知矛盾,所以不存在经过点(a,b)的直线与函数的图象不相交,故(5)错误.综上,正确的命题有两个,故选B.二、填空题6.答案　-79解析　因为a∥b,所以12cosα+23=32sinα,所以12cosα+13=32sinα,所以sinα-π6=13,所以sin2α-5π6=sin2α-π3-π2

13=-cos2α-π3=2sin2α-π6-1=29-1=-79.7.答案　(0,2-1]解析　∵A为不等边△ABC的最小内角,∴A∈0,π3,设t=sinA+cosA,则t=sinA+cosA=2sinA+π4∈(1,2].又2sinAcosA=(sinA+cosA)2-1=t2-1,∴f(A)=2sinAcosA1+sinA+cosA=t2-1t+1=t-1∈(0,2-1].故答案为(0,2-1].三、解答题8.解析　(1)由2sinx=cosx得tanx=12,则sin2x-sinxcosx=sin2x-sinxcosxsin2x+cos2x=tan2x-tanxtan2x+1=-15.(2)解法一:tanx=2tanx21-tan2x2=12,则tan2x2+4tanx2-1=0,解得tanx2=-2±5,由π0,得π0,得π

14由于函数y=sinu的单调递减区间为uπ2+2kπ≤u≤3π2+2kπ,k∈Z,所以令π2+2kπ≤2x-π6≤3π2+2kπ(k∈Z),得π3+kπ≤x≤5π6+kπ(k∈Z),因此函数y=f(x)的单调递减区间为π3+kπ,5π6+kπ,k∈Z.(2)∵x∈-π12,π6,∴2x-π6∈-π3,π6,∴sin2x-π6∈-32,12,∴2sin2x-π6+1∈[1-3,2],因此函数y=f(x)在区间-π12,π6上的值域为[1-3,2].