数列综合训练 期末综合复习（Word含解析）

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数列综合训练1．已知数列{an}（n∈N*）是公差不为0的等差数列，a1＝1，且a2，a4，a8成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列的前n项和为Tn，求Tn．2．已知数列{an}中，a1＝3，an（n≥2，n∈N*，），设bn（n∈N*）．（1）求证：数列{bn}是等差数列；（2）求数列的前n项和Tn．第14页（共14页）

13．已知{an}是公差不为0的等差数列，满足a3＝3，且a2，a4，a8成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）设bn，求数列{bn}的前n项和Tn．4．设Sn是等比数列{an}的前n项和．已知S2＝4，a32＝3a4．（1）求an和Sn；（2）设bn，求数列{bn}的前n项和Tn．第14页（共14页）

25．在数列{an}中，a1＝1，an﹣an﹣1＝2n﹣1﹣1（n≥2）．（1）求{an}的通项公式；（2）设bn，记数列{bn}的前n项和为Sn，证明：Sn＜1．6．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，数列{bn}为递增的等比数列，公比为q，前n项和为Tn，且a1＝b1，d＝q，a2+a5＝6b2，a3+a4＝3b3．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）设bn，{cn}的前n项和为Rn，证明：Rn＜1第14页（共14页）

37．在①an＝2n﹣1，3bn＝2Tn+3；②2Sn=n2+an，bn=a2nSn，这两组条件中任选一组，补充在下面横线处，并解答下列问题．已知数列的{an}前n项和是Sn，数列{bn}的前n项和是Tn，_______．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）设cn，证明：c1+c2+c3+···+cn＜1．8．数列{an}和{bn}满足a1＝b1＝1，bn+1＝an+1﹣an，bn+1＝2bn．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）若cn＝bnlog2（an+1），求数列{cn}的前n项和Sn．第14页（共14页）

49．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an﹣1．（1）求{an}的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn．10．已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是各项均为正数的等比数列，且a1＝b1＝1，a2+b2＝6，a3+b3＝14．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{anbn}的前n项和Sn．第14页（共14页）

511．已知数列{an}满足a1＝1，an+1（n∈N*），数列{bn}满足bn-1．（1）证明：数列{bn}为等比数列，并求{bn}的通项公式；（2）设cn＝n•bn，求数列{cn}的前n项和Sn．12．已知数列{an}满足an+1＝an+1（n∈N*），且a2＝2．（1）若数列{bn}满足b1＝1，bn+1＝bn+2an﹣1，求数列{bn}的通项公式；（2）求数列{an•}的前n项和Sn．第14页（共14页）

6数列综合训练1．已知数列{an}（n∈N*）是公差不为0的等差数列，a1＝1，且a2，a4，a8成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列的前n项和为Tn，求Tn．【解答】解：（1）设{an}的公差为d，因为a2，a4，a8成等比数列，所以，即，化简得d2＝a1d，又a1＝1，且d≠0，解得d＝1，所以有an＝a1+（n﹣1）d＝n；（2）由（1）得，所以＝．2．已知数列{an}中，a1＝3，an（n≥2，n∈N*，），设bn（n∈N*）．（1）求证：数列{bn}是等差数列；（2）求数列的前n项和Tn．【解答】（1）证明：由an＝2﹣，得an+1＝2﹣，则bn+1﹣bn＝﹣＝﹣＝﹣＝＝1，又当n＝1时，b1＝＝＝，所以{bn}是以为首项，1为公差的等差数列；（2）由（1）可知bn＝+（n﹣1）×1＝n﹣，所以＝＝＝2（﹣），所以Tn＝2（1﹣+﹣+···+﹣）＝2（1﹣）＝．第14页（共14页）

73．已知{an}是公差不为0的等差数列，满足a3＝3，且a2，a4，a8成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）设bn，求数列{bn}的前n项和Tn．【解答】解：（1）{an}是公差不为0的等差数列，设等差数列{an}的公差为d，满足a3＝3，a3＝a1+2d＝3，又∵a2，a4，a8成等比数列．∴a42＝a2a8，即（a1+3d）2＝（a1+d）（a1+7d），解得：d＝1，a1＝1∴an＝1+1×（n﹣1）＝n；（2）＝＝，数列{bn}的前n项和Tn＝＝（1+﹣）＝．4．设Sn是等比数列{an}的前n项和．已知S2＝4，a32＝3a4．（1）求an和Sn；（2）设bn，求数列{bn}的前n项和Tn．【解答】解：（1）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，已知S2＝4，a32＝3a4，则：，解得，整理得，．（2）由bn＝＝＝，故＝＝1﹣．5．在数列{an}中，a1＝1，an﹣an﹣1＝2n﹣1﹣1（n≥2）．（1）求{an}的通项公式；第14页（共14页）

8（2）设bn，记数列{bn}的前n项和为Sn，证明：Sn＜1．【解答】解：（1）∵a1＝1，an﹣an﹣1＝2n﹣1﹣1（n≥2），∴a1＝1，a2﹣a1＝21﹣1，a3﹣a2＝22﹣1，.....．an﹣an﹣1＝2n﹣1﹣1（n≥2）．累加得：＝，验证a1＝1成立，则；证明：（2）bn＝＝＝，∴Sn＝b1+b2+b3+...+bn＝···+＝＝1﹣．∵n≥1时，2n+1＞n+1，∴＞0，则Sn＝1﹣＜1．6．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，数列{bn}为递增的等比数列，公比为q，前n项和为Tn，且a1＝b1，d＝q，a2+a5＝6b2，a3+a4＝3b3．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）设bn，{cn}的前n项和为Rn，证明：Rn＜1【解答】解：（1）由等差数列的性质知a2+a5＝a3+a4，故6b2＝3b3，故d＝q＝2；则2a1+5d＝6b2，即2a1+10＝12a1，故a1＝1；故an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1；第14页（共14页）

9（2）证明：∵＝＝﹣，∴Rn＝（1﹣）+（﹣）+……+[﹣]＝1﹣＜1．7．在①an＝2n﹣1，3bn＝2Tn+3；②2Sn=n2+an，bn=a2nSn，这两组条件中任选一组，补充在下面横线处，并解答下列问题．已知数列的{an}前n项和是Sn，数列{bn}的前n项和是Tn，_______．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）设cn，证明：c1+c2+c3+···+cn＜1．【解答】解：（1）选①an＝2n﹣1，3bn＝2Tn+3，可得3b1＝2T1+3＝2b1+3，即b1＝3，当n≥2时，3bn﹣1＝2Tn﹣1+3，又3bn＝2Tn+3，两式相减可得3bn﹣3bn﹣1＝2Tn+3﹣2Tn﹣1﹣3＝2bn，即有bn＝3bn﹣1，则数列{bn}是首项和公比均为3的等比数列，所以bn＝3•3n﹣1＝3n；选②，可得2a1＝2S1＝1+a1，解得a1＝1，当n≥2时，2Sn﹣1＝（n﹣1）2+an﹣1，又2Sn＝n2+an，两式相减可得2an＝2Sn﹣2Sn﹣1＝n2+an﹣（n﹣1）2﹣an﹣1＝2n﹣1+an﹣an﹣1，则an+an﹣1＝2n﹣1，即为an﹣n＝﹣[an﹣1﹣（n﹣1）]，an﹣1﹣（n﹣1）＝﹣[an﹣2﹣（n﹣2）]，......，a2﹣2＝﹣（a1﹣1）＝0，所以an﹣n＝（﹣1）n﹣1（a1﹣1）＝0，即an＝n，Sn＝n（n+1），bn＝a2nSn＝2n•n（n+1）＝n2（n+1）；第14页（共14页）

10（2）证明：若选①，可得cn＝＝（2n﹣1）•（）n，设Rn＝c1+c2+c3+···+cn＝1•+3•（）2+5•（）3+...+（2n﹣3）•（）n﹣1+（2n﹣1）•（）n，Rn＝1•（）2+3•（）3+5•（）4+...+（2n﹣3）•（）n+（2n﹣1）•（）n+1，上面两式相减可得Rn＝+2[（）2+（）3+...+（）n﹣1+（）n]﹣（2n﹣1）•（）n+1＝+2•﹣（2n﹣1）•（）n+1，所以Rn＝1﹣（n+1）•（）n，因为（n+1）•（）n＞0恒成立，所以Rn＜1，即c1+c2+c3+⋯+cn＜1；若选②，可得cn＝＝＝﹣，则c1+c2+c3+···+cn＝1﹣+﹣+...+﹣＝1﹣＜1．8．数列{an}和{bn}满足a1＝b1＝1，bn+1＝an+1﹣an，bn+1＝2bn．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）若cn＝bnlog2（an+1），求数列{cn}的前n项和Sn．【解答】解：（1）∵b1＝1，bn+1＝2bn，∴数列{bn}是等比数列，公比为2，首项为1，∴bn＝2n﹣1．∵an+1﹣an＝bn+1＝2n，∴an＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1）＝1+2+22+……+2n﹣1＝＝2n﹣1．（2）cn＝bnlog2（an+1）＝n•2n﹣1，∴数列{cn}的前n项和Sn＝1+2×2+3×22+……+n•2n﹣1，∴2Sn＝2+2×22+……+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，∴﹣Sn＝1+2+22+……+2n﹣1﹣n•2n＝﹣n•2n，化为：Sn＝（n﹣1）•2n+1．第14页（共14页）

119．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an﹣1．（1）求{an}的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn．【解答】解：（1）由题意可得n≥2时，Sn﹣1＝2an﹣1﹣1，与原式联立相减得Sn﹣Sn﹣1＝an＝2an﹣2an﹣1，∴an＝2an﹣1，∴，令n＝1得S1＝a1＝2a1﹣1，∴a1＝1，∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，∴．（2）由（1）得，，两式相减得，化简得．10．已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是各项均为正数的等比数列，且a1＝b1＝1，a2+b2＝6，a3+b3＝14．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{anbn}的前n项和Sn．【解答】解：（Ⅰ）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q（q＞0），由a1＝b1＝1，a2+b2＝6，得d+q＝5①，又a3+b3＝14，得2d+q2＝13②，联立①和②解得或（舍去），所以；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，第14页（共14页）

12则，，两式相减得，即﹣2Sn＝1+2（3+32+33+···+3n﹣1）﹣（2n﹣1）×3n＝＝3n﹣2﹣（2n﹣1）×3n＝（2﹣2n）·3n﹣2，所以．11．已知数列{an}满足a1＝1，an+1（n∈N*），数列{bn}满足bn-1．（1）证明：数列{bn}为等比数列，并求{bn}的通项公式；（2）设cn＝n•bn，求数列{cn}的前n项和Sn．【解答】解：（1）证明：数列{an}满足a1＝1，（n∈N*），取倒数可得：＝﹣，变形为：﹣＝2（﹣），﹣＝，∴数列{﹣}是等比数列，首项为，公比为2．∴﹣＝×2n﹣1＝2n﹣2，即＝+2n﹣2，∴＝2n﹣1，∴数列{bn}为等比数列，首项为1，公比为2，∴＝2n﹣1．（2）cn＝n•bn＝n•2n﹣1．∴数列{cn}的前n项和Sn＝1+2×2+3×22+……+n•2n﹣1，2Sn＝2+2×22+……+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，第14页（共14页）

13相减可得：﹣Sn＝1+2+22+……+2n﹣1﹣n•2n＝﹣n•2n，化为：Sn＝（n﹣1）•2n+1．12．12．已知数列{an}满足an+1＝an+1（n∈N*），且a2＝2．（1）若数列{bn}满足b1＝1，bn+1＝bn+2an﹣1，求数列{bn}的通项公式；（2）求数列{an•}的前n项和Sn．【解答】解：（1）数列{an}满足an+1＝an+1（n∈N*），且a2＝2．∴数列{an}是首项为1的等差数列，∴a1＝a2﹣1＝2﹣1＝1，∴an＝1+（n﹣1）×1＝n，∵数列{bn}满足b1＝1，bn+1＝bn+2an﹣1，∴bn+1＝bn+2n﹣1，∴bn+1﹣bn＝2n﹣1，∴bn＝b1+b2﹣b1+b3﹣b2+···+bn﹣bn﹣1＝1+2﹣1+4﹣1+···+2（n﹣1）﹣1＝2（1+2+···+n﹣1）+2﹣n＝n2﹣2n+2，∴数列{bn}的通项公式bn＝n2﹣2n+2．（2）∵an•＝n•3n，∴数列{an•}的前n项和：Sn＝1×3+2×32+3×33+···+n×3n，①3Sn＝1×32+2×33+3×34+···+（n﹣1）×3n+n×3n+1，②①﹣②，得：﹣2Sn＝3+32+33+34+•••+3n﹣n×3n+1＝﹣n×3n+1＝﹣，∴Sn＝×3n+1+．第14页（共14页）