苏教版高中数学 必修1 第2章 2.3.2　全称量词命题与存在量词命题的否定 学案 （Word版含解析）

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2.3.2　全称量词命题与存在量词命题的否定学习目标　1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．导语同学们，不知道大家在生活中有没有这样的经历，比如说，某天你惹父母生气了，你父母可能会说：“天天惹我生气，被你气死算了”，但实际上你也许有过让你父母高兴的时刻；或者说，你某次成绩考的很好，你父母会说：“宝贝儿，你总是那么优秀”，这也许忽略了之前某次考的不好的时候，而数学的神奇就在于它总能用符号语言描述生活中的实例，那就让我们开始今天的探究之旅！一、全称量词命题的否定问题1　你能写出下列命题的否定吗？它们与原命题在形式上有什么变化？(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)∀x∈R，x＋|x|≥0.提示　上面三个命题都是全称量词命题，即具有“∀x∈M，p(x)”的形式．其中命题(1)的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，存在一个矩形不是平行四边形；命题(2)的否定是“并非每一个素数都是奇数”，也就是说，存在一个素数不是奇数；命题(3)的否定是“并非所有的x∈R，x＋|x|≥0”，也就是说，∃x∈R，x＋|x|<0.从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题．知识梳理p綈p结论全称量词命题∀x∈M，p(x)∃x∈M，綈p(x)全称量词命题的否定是存在量词命题注意点：(1)含全称量词命题的否定，总结起来八个字“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对结论进行了否定．(2)一个命题和它的否定不能同时为真，也不能同时为假，只能一真一假．例1　写出下列命题的否定．(1)所有分数都是有理数；(2)所有被5整除的整数都是奇数；(3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0.

1解　(1)该命题的否定：存在一个分数不是有理数．(2)该命题的否定：存在一个被5整除的整数不是奇数．(3)该命题的否定：∃x∈R，x2－2x＋1<0.反思感悟　全称量词命题否定的关注点(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x∈M，綈p(x)．(2)全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定．跟踪训练1　写出下列全称量词命题的否定：(1)所有自然数的平方都是正数；(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；(3)对任意实数x，x2＋1≥0.解　(1)綈p：有些自然数的平方不是正数．(2)綈p：存在实数x不是方程5x－12＝0的根．(3)綈p：存在实数x，使得x2＋1<0.二、存在量词命题的否定问题2　你能写出下列命题的否定吗？它们与原命题在形式上有什么变化？(1)存在一个实数的绝对值是正数；(2)有些平行四边形是菱形；(3)∃x∈R，x2－2x＋3＝0.提示　这三个命题都是存在量词命题，即具有“∃x∈M，p(x)”的形式．其中命题(1)的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，所有实数的绝对值都不是正数；命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形；命题(3)的否定是“不存在x∈R，x2－2x＋3＝0”，也就是说，∀x∈R，x2－2x＋3≠0.从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题．知识梳理p綈p结论存在量词命题∃x∈M，p(x)∀x∈M，綈p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题注意点：(1)与全称量词命题类似，含存在量词命题的否定，总结起来八个字“改变量词，

2否定结论”．(2)常见词语的否定形式原词语否定词语原词语否定词语是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个至多有(n－1)个小于不小于至多有n个至少有(n＋1)个任意的某个能不能所有的某些等于不等于例2　写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假．(1)某些梯形的对角线互相平分；(2)存在k∈R，函数y＝kx＋b随x值的增大而减小；(3)∃x，y∈Z，使得x＋y＝3.解　(1)该命题的否定：任意一个梯形的对角线都不互相平分．命题的否定为真命题．(2)该命题的否定：对任意k∈R，函数y＝kx＋b不随x值的增大而减小．命题的否定为假命题．(3)该命题的否定：∀x，y∈Z，x＋y≠3.当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．反思感悟　存在量词命题否定的关注点(1)存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，綈p(x)．(2)存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定．跟踪训练2　写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假．(1)有的素数是偶数；(2)∃a，b∈R，a2＋b2≤0.解　(1)命题的否定：所有的素数都不是偶数．由于2是素数也是偶数，因此命题的否定为假命题．(2)命题的否定：∀a，b∈R，a2＋b2>0.∵当a＝b＝0时，a2＋b2＝0，∴命题的否定是假命题．

3三、全称量词命题与存在量词命题的综合应用例3　已知命题p：∀x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立．求实数m的取值范围．解　令y＝x2＋4x－1，x∈R，则y＝(x＋2)2－5≥－5，因为∀x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，所以只要m<－5即可．所以所求m的取值范围是{m|m<－5}．延伸探究1．把本例中的条件改为“存在实数x，使不等式－x2＋4x－1>m有解”，求实数m的取值范围．解　令y＝－x2＋4x－1，因为y＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3≤3，又因为∃x∈R，－x2＋4x－1>m有解，所以只要m小于函数的最大值即可，所以所求m的取值范围是{m|m<3}．2．把本例中的条件“∀x∈R”改为“∀x≥1”，求实数m的取值范围．解　令y＝x2＋4x－1，x≥1，则y＝(x＋2)2－5≥(1＋2)2－5＝4，因为∀x≥1，不等式x2＋4x－1>m恒成立，所以只要m<4即可．所以所求m的取值范围是{m|m<4}．反思感悟　求解含有量词的命题中参数范围的策略(1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或aymax(或ay(或aymin(或a

41．知识清单：(1)全称量词命题、存在量词命题的否定．(2)命题真假的判断．(3)全称量词命题与存在量词命题的综合应用．2．方法归纳：转化思想．3．常见误区：否定不唯一，命题与其否定的真假性相反．1．命题“∃x>0,2x2＝5x－1”的否定是(　　)A．∀x>0,2x2≠5x－1B．∀x≤0,2x2＝5x－1C．∃x>0,2x2≠5x－1D．∃x≤0,2x2＝5x－1答案　A解析　存在量词命题的否定是全称量词命题．2．命题“∀x∈[0，＋∞)，2x2－x≥0”的否定是(　　)A．∀x∉[0，＋∞)，2x2－x<0B．∀x∉[0，＋∞)，2x2－x≥0C．∃x∈[0，＋∞)，2x2－x<0D．∃x∈[0，＋∞)，2x2－x≥0答案　C解析　命题是全称量词命题，则命题的否定是存在量词命题，据此可得命题“∀x∈[0，＋∞)，2x2－x≥0”的否定是“∃x∈[0，＋∞)，2x2－x<0”．3．命题：“有的三角形是直角三角形”的否定是______________________________．答案　所有的三角形都不是直角三角形解析　命题：“有的三角形是直角三角形”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，即所有的三角形都不是直角三角形．4．若命题“∀x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，则实数a的取值范围是________．答案　{a|a≤4}解析　∵命题：∀x∈R，x2－4x＋a≠0为假命题，∴∃x∈R，x2－4x＋a＝0是真命题，∴方程x2－4x＋a＝0有实数根，则Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4.

51．命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则p的否定是(　　)A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根答案　C解析　命题p是存在量词命题，其否定形式为全称量词命题，即对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根．2．已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是(　　)A．命题綈p是真命题B．命题p是存在量词命题C．命题p是全称量词命题D．命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题答案　C解析　命题p：实数的平方是非负数，是真命题，故綈p是假命题，命题p是全称量词命题．3．命题“存在实数x，使x>1”的否定是(　　)A．对任意实数x，都有x>1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1答案　C解析　利用存在量词命题的否定是全称量词命题求解．“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．4．对某次考试，有命题p：所有学生都会做第1题，那么命题p的否定是(　　)A．所有学生都不会做第1题B．存在一个学生不会做第1题C．存在一个学生会做第1题D．至少有一个学生会做第1题

6答案　B解析　根据全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题p：所有学生都会做第1题的否定是存在一个学生不会做第1题．5．(多选)关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是(　　)A．綈p：∃x∈R，x2＋1＝0B．綈p：∀x∈R，x2＋1＝0C．p是真命题，綈p是假命题D．p是假命题，綈p是真命题答案　AC解析　命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的否定是“∃x∈R，x2＋1＝0”．所以p是真命题，綈p是假命题．6．(多选)对下列命题的否定说法正确的是(　　)A．p：能被2整除的数是偶数；p的否定：存在一个能被2整除的数不是偶数B．p：有些矩形是正方形；p的否定：所有的矩形都不是正方形C．p：有的三角形为正三角形；p的否定：所有的三角形不都是正三角形D．p：∀n∈N,2n≤100；p的否定：∃n∈N,2n>100答案　ABD解析　“有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为全称量词命题“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误．7．命题“∃x，y∈Z，使得x2>y”的否定是__________．答案　∀x，y∈Z，x2≤y解析　存在量词命题的否定是全称量词命题．8．已知命题p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0.若命题綈p是假命题，则实数a的取值范围是________．答案　{a|a≤1}解析　∵命题綈p是假命题，∴p是真命题，即存在x∈R，x2＋2x＋a＝0为真命题，∴Δ＝4－4a≥0，∴a≤1.9．写出下列命题的否定．(1)有些四边形有外接圆；(2)末位数字为9的整数能被3整除；

7(3)∃x∈R，x2＋1<0.解　(1)所有的四边形都没有外接圆．(2)存在一个末位数字为9的整数不能被3整除．(3)∀x∈R，x2＋1≥0.10．写出下列命题的否定，并判断其否定的真假．(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实根；(2)p：∀x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5＝0.解　(1)綈p：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根．∵该方程的判别式Δ＝m2＋4>0恒成立，∴綈p为假命题．(2)綈p：∃x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5≠0.∵x2＋y2＋2x－4y＋5＝(x＋1)2＋(y－2)2，当x＝0，y＝0时，x2＋y2＋2x－4y＋5≠0，∴綈p为真命题．11．下列命题的否定是真命题的为(　　)A．p1：每一个合数都是偶数B．p2：两条平行线被第三条直线所截内错角相等C．p3：全等三角形的周长相等D．p4：所有的无理数都是实数答案　A解析　若判断某命题的否定的真假，只要判断出原命题的真假即可，它们的真假性始终相反．因为p1为全称量词命题，且是假命题，所以綈p1是真命题．命题p2，p3，p4均为真命题，即綈p2，綈p3，綈p4均为假命题．12．(多选)下列命题的否定是假命题的是(　　)A．等圆的面积相等，周长相等B．∀x∈N，x2≥1C．任意两个等边三角形都是相似的D．3是方程x2－9＝0的一个根答案　ACD解析　A的否定：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等，假命题；B的否定：∃x∈N，x2<1，真命题；

8C的否定：有些等边三角形不相似，假命题；D的否定：3不是方程x2－9＝0的一个根，假命题．13．已知命题p：∃x∈{x|13C．a≤3D．a≥3答案　D解析　因为綈p是真命题，所以∀x∈{x|1x恒成立，所以a≥3.14．已知命题：“∃x∈{x|1≤x≤2}，使x2＋2x＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是______．答案　a≥－8解析　当x∈{x|1≤x≤2}时，因为x2＋2x＝(x＋1)2－1，所以3≤x2＋2x≤8，由题意有a＋8≥0，∴a≥－8.15．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥2x＋1”的否定形式是(　　)A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n<2x＋1B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n<2x＋1C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n<2x＋1D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n<2x＋1答案　D解析　由题意可知，全称量词命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥2x＋1”的否定形式为存在量词命题“∃x∈R，∀n∈N*，使得n<2x＋1”．16．已知命题p：∀1≤x≤3，都有m≥x，命题q：∃1≤x≤3，使m≥x，若命题p为真命题，綈q为假命题，求实数m的取值范围．解　由题意知命题p，q都是真命题．由∀1≤x≤3，都有m≥x都成立，只需m大于或等于x的最大值，即m≥3.由∃1≤x≤3，使m≥x成立，只需m大于或等于x的最小值，即m≥1，因为两者同时成立，故实数m的取值范围为{m|m≥3}∩{m|m≥1}＝{m|m≥3}．