湖南省永州市2023届高三上学期入学考试数学试卷及答案

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永州一中2022年高三年级暑假入学考试数学试卷考试时间：120分钟满分：150分一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x|-11}，则A∪B=(    )A.x|-1-1D.x|x>12.设函数f(x)=ln |x|,x⩽-1e-x,x>-1则f(f(-2))的值为(    )A.1eB.2eC.12D.23.定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，且f(-2)=1，则使f(x-2)≤1成立的x的取值范围是(    )A.[0,4]B.(-∞,-2]∪[2,+∞)C.(-∞,0]∪[4,+∞)D.[-2,2]4．已知命题p：∃x∈(0,1)，ex－a≥0，若p是假命题，则实数a的取值范围是(　　)A．a>1　　B．a≥e　　C．a≥1　　D．a>e5.若函数f(x)=x3-(a2+3)x2+2ax+3在x=2处取得极小值，则实数a的取值范围是(  )A.(-∞,-6)B.(-∞,6)C.(6,+∞)D.(-6,+∞)6.若log2a-2+log2b-1=1，则2a+b取到最小值时，a+2b的值为( )A.3+22B.9C.8D.1527.天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念．天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1-m2=2.5lgE2-lgE1.其中星等为mi的星的亮度为Eii=1,2.已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是(当x较小时，10x≈1+2.3x+2.7x2)A.1.22B.1.24C.1.26D.1.288.设a，b∈R，函数f(x)=x,x<0,13x3-12(a+1)x2+ax,x≥0．若函数y=f(x)-ax-b恰有3个零点，则(    )A.a<-1，b<0B.a<-1，b>0

1C.a>-1，b<0D.a>-1，b>0二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（       ）A．B．y=|x-1|C．D．10．已知，则下列不等式中成立的是（       ）A．B．C．D．11.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R，有f(1+x)=-f(1-x)，当x∈[0,1]时，f(x)=x 2+x-2，则(    )A.f(x)是以4为周期的周期函数B.f(2021)+f(2022)=-2C.函数y=f(x)-log2(x+1)有3个零点D.当x∈[3,4]时，f(x)=x 2-9x+1812.已知函数f(x)=x2π+cosx-π4(x∈R)，则下列说法正确的有(    )A.直线y=0为曲线y=f(x)的一条切线；B.f(x)的极值点个数为3；C.f(x)的零点个数为4；D.若f(x1)=f(x2)(x1≠x2)，则x1+x2=0．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线f(x)=ex在点A(0,f(0))处的切线方程为______．14.某驾驶员喝了m升酒后，血液中的酒精含量fx(毫克/毫升)随时间x(小时)变化的规律近似满足表达式fx=5x-2,0≤x≤135⋅(13)x,x>1. 《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升．此驾驶员至少要过______小时后才能开车．(精确到1小时)15.已知fx是定义在R上的偶函数，且fx+1=f1-x，当x∈0,1时，fx=x，若函数y=fx-logax+1(a>0且a≠1)有且仅有6个零点，则a的取值范围是______．16.已知函数f(x)=ax2-2x+lnx有两个不同的极值点x1，x2，且不等式f(x1)+f(x2)

2(2)若，求的通项公式.18．如图，在圆内接四边形ABCD中，，，，的面积为.(1)求AC；(2)求.19．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，E，F分别为PA，BC的中点．(1)证明：EF∥平面PCD(2)若PD⊥平面ABCD，，且，求直线AF与平面DEF所成角的正弦值．20.我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的“十四五”规划.某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金.该企业为了了解研发资金的投入额x(单位：百万元)对年收入的附加额y(单位：百万元)的影响，对往年研发资金投入额xi和年收入的附加额yi进行研究，得到相关数据如下：投入额xi234568911年收入的附加额yi3.64.14.85.46.27.57.99.1

3(1)求年收入的附加额y与投入额x的线性回归方程;(2)在(1)的条件下，若投入额为15百万元，估计年收入的附加额为多少;(3)若年收入的附加额与投入额的比值大于1，则称对应的投入额为“优秀投资额”，现从上面8个投入额中任意取3个，用X表示这3个投入额为“优秀投资额”的个数，求X的分布列及数学期望．【参考数据】i=18xiyi=334.1，i=18yi=48.6，i=18xi2=356．【附】在线性回归方程y=bx+a中，b=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2，a=y-bx．21.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线y2=8x的焦点重合，且椭圆的离心率为63，过x轴正半轴一点(m,0)且斜率为-33的直线l交椭圆于A，B两点(1)求椭圆的标准方程;(2)是否存在实数m使得以AB为直径的圆过原点，若存在求出实数m的值;若不存在需说明理由22.已知函数（e是自然对数的底数）.(1)讨论函数的单调性；(2)当时，若对于，曲线C：与曲线都有唯一的公共点，求实数m的取值范围.

4永州一中2022年高三年级暑假入学考试数学参考答案题号123456789101112答案CCABBBCCACBCACDAB13.x-y+1=0 14.415.(6,8)16.[-5,+∞) 部分题答案：8解：当x<0时，y=f(x)-ax-b=x-ax-b=(1-a)x-b，最多一个零点；当x≥0时，y=f(x)-ax-b=13x3-12(a+1)x2+ax-ax-b=13x3-12(a+1)x2-b，y'=x2-(a+1)x，当a+1≤0，即a≤-1时，y'≥0，y=f(x)-ax-b在[0,+∞)上递增，y=f(x)-ax-b最多一个零点，不合题意；当a+1>0，即a>-1时，令y'>0得x∈[a+1,+∞)，函数递增，令y'<0得x∈[0,a+1)，函数递减，函数最多有2个零点；根据题意函数y=f(x)-ax-b恰有3个零点，所以函数y=f(x)-ax-b在(-∞,0)上有一个零点，在[0,+∞)上有2个零点，如右图：∴b1-a<0且-b>013(a+1)3-12(a+1)(a+1)2-b<0,解得b<0，1-a>0，b>-16(a+1)3，∴-16(a+1)3π2时，2xπ>1,sin⁡x⩽1，f'x>0恒成立，即fx在(π2,+∞)上单增；当x∈[0,π2]，令g(x)=f'(x)=2xπ-sin⁡x，则g'(x)=2π-cos⁡x，因为x∈[0,π2]，cosx∈0,1且单减，2π∈(0,1)，所以∃x0∈(0,π2)，使得g'x0=0，当x∈0,x0,g'x⩽0,gx单调递减，当x∈(x0,π2],g'(x)⩾0,g(x)单调递增，

5又g(0)=g(π2)=0，所以对∀x∈[0,π2]，恒有gx⩽0，即∀x∈[0,π2]，f'x⩽0，故函数fx在[0,π2]单调递减，因为函数fx为偶函数，所以函数fx在(-∞,-π2),[0,π2]单调递减，在[-π2,0],(π2,+∞)上单调递增，在x=-π2,0,π2处取得极值．选项A：直线y=0为曲线y=f(x)的一条切线，因为f'(π2)=0，f(π2)=0，所以函数fx在x=π2处切线方程为y=0，故A对；选项B：由上面分析可知fx在x=-π2,0,π2处取得极值，共三个极值点，故B对；选项C：因为f(π2)=0，当x⩾0时，fx在[0,π2]单调递减，在(π2,+∞)单调递增，所以x⩾0时，fx仅有一个零点x=π2，又因为fx为偶函数，所以fx在R上有两个零点，故C错；选项D：因为fx在[0,π2]单调递减，在(π2,+∞)单调递增，所以∃x1∈[0,π2]，x2∈(π2,+∞)，使得f(x1)=f(x2)(x1≠x2)，此时x1+x2>0，故D错；故答案选AB．  16.解：f(x)=ax2-2x+lnx,(x>0)，f'(x)=2ax2-2x+1x(x>0)，若函数f(x)=ax2-2x+lnx有两个不同的极值点x1，x2，则方程2ax2-2x+1=0有2个不相等的实数根，故 △=4-8a>0 x1+x2= 1 a >0x1x2= 12 a >0,解得：0

6若不等式f(x1)+f(x2)0，故h(a)在(0,12)递增，故h(a)

7因为F为BC的中点，所以，因为∥，所以，所以两两垂直，所以以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz．因为，所以D（0，0，0），F(，0，0），A（0，2，0），E（0，1，2），则．设平面DEF的法向量，则，令，得．设直线AF与平面DEF所成的角为θ，则，所以直线AF与平面DEF所成角的正弦值为20.【答案】解：(1)x=2+3+4+5+6+8+9+118=6，y=18i=18yi=48.68=6.075，b=i=1nxiyi-nx yi=1nxi2-nx2=334.1-8×6×6.075356-8×36=0.625，又因为a=y-bx，所以a=6.075-0.625×6=2.325，所以年收入的附加额y与投入额x的线性回归方程为y=0.625x+2.325．(2)由(1)知，b=0.625>0，所以随着研发资金投入额的增加，年收入的附加额也增加．研发资金投入额每增加1百万元，年收入的附加额增加0.625百万元．所以y=0.625x+2.325，所以当x=15时，y=11.7，所以当投入额为15百万元时，估计年收入的附加额为11.7百万元．(3)8个投入额中，“优秀投资额”的个数为5个，故X的所有可能取值为0，1，2，3，P(X=0)=C33C83=156;P(X=1)=C32C51C83=1556;P(X=2)=C31C52C83=3056;P(X=3)=C53C83=1056则X的分布列为

8X0123P15615561528528则EX=1×1556+2×3056+3×1056=10556． 21.【答案】解：(1)根据题意，抛物线y2=8x的焦点是(2,0)，则F(2,0)，即c=2，又椭圆的离心率为63，即e=ca=63，解可得a=6，则a2=6，则b2=a2-c2=2，故椭圆的方程为x26+y22=1；(2)由题意得直线l的方程为y=-33(x-m)(m>0)，由x26+y22=1y=-33(x-m),消去y得2x2-2mx+m2-6=0．由Δ=4m2-8(m2-6)>0，解得-230，∴00)当a≤0时，，函数在单调递减；当a>0时，令，解得x=a，当x∈(0,a)时，，当x∈(a,+∞)时，，∴函数在(0,a)上单调递增，在(a,+∞)上单调递减，综上，当a≤0时，函数在单调递减；当a>0时，函数在(0,a)上单调递增，在(a,+∞)上单调递减．(2)因为曲线与曲线有唯一的公共点，所以方程有唯一解，即方程有唯一解，令，所以，

9当1-16k≤0，k≥116时，g’(x)≥0，函数单调递增，易知与有且只有一个交点，满足题意；当时，有两个根，且两根之和为，两根之积为，若两根一个大于4，一个小于4，此时函数先增后减再增，存在一个极大值和一个极小值，要使有唯一实数根，则大于极大值或小于极小值.记为极大值点，则，则恒成立，又，即，则极大值，因为，所以在上单调递增，，则m≥4ln2-3；记为极小值点，则，则，又，所以恒成立，令，又，所以时，，所以单调递减，无最小值，所以不存在，使得恒成立.若两根都大于4，设为极大值点，，则同理可得单调递减，所以，则m≥4ln2-3；设为极小值点，，可得不存在，使得恒成立.综上，要使对，曲线与曲线都有唯一的公共点，的取值范围为.