2022-2023学年高二数学考点知识详解选择性必修第二册数学基础培优测试解析版

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2022-2023学年高二数学考点知识详解选择性必修第二册数学基础培优测试本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B)填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用28铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上，3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一井交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．是等比数列的前项和，，则（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据等比数列，利用即可求解.【详解】依题意，根据等比数列的性质，，于是，于是.故选：A2．已知函数，为的导函数，则的值为（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】直接利用导数的定义，即可解出．【详解】由题意可得，，所以故选：．

13．已知等差数列中，，且公差，则其前项和取得最大值时的值为（       ）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】由题意判断出，即可得到答案.【详解】由等差数列的公差，知，，所以，故，则数列的前项和取得最大值时的值为.故选：B4．函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由图象的变化趋势，结合导函数的定义有，即可得答案.【详解】由图知：，即.故选：A5．我国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织出的布都是前一天的倍，已知她天共织布尺，问这女子每天织布多少？”这个问题体现了古代对数列问题的研究．某数学爱好者对于这道题作了以下改编：有甲、乙两位女子，需要合作织出尺布．两人第一天都织出一尺，以后几天中，甲女子每天织出的布都是前一天的倍，乙女子每天织出的布都比前一天多半尺，则两人完成织布任务至少需要（       ）

2A．天B．天C．天D．天【答案】D【解析】【分析】由题意得数列是以为首项，为公比的等比数列，是以为首项，以为公差的等差数列，然后结合等差数列与等比数列的求和公式即可求解．【详解】解：设甲，乙每天织布分别记为数列，，由题意得数列是以为首项，为公比的等比数列，是以为首项，以为公差的等差数列，故，即，因为在上单调递增，当时，，而，故的解为,故至少需要5天，故选：D．6．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（       ）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】由题意可得，则，构造函数，然后利用导数求出其最小值即可【详解】因为函数在上单调递增，所以，则，令，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，所以，即，

3所以实数的取值范围为故选：B.7．定义在上的函数的导数为，若对任意实数都有，且函数为奇函数，则不等式的解集是（       ）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】先把原不等式转化为，令，利用导数判断出在上单调递减，且即可求解.【详解】因为函数为上的奇函数，则，所以.原不等式可化为，即.令，则，故在上单调递减，且由所以.故选：B.8．已知数列满足.记数列的前n项和为，则（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】显然可知，，利用倒数法得到，再放缩可得，由累加法可得，进而由局部放缩可得，然后利用累乘法求得，最后根据裂项相消法即可得到，从而得解．【详解】

4因为，所以，．由，即根据累加法可得，，当且仅当时取等号，，由累乘法可得，当且仅当时取等号，由裂项求和法得：所以，即．故选：A．【点睛】本题解题关键是通过倒数法先找到的不等关系，再由累加法可求得，由题目条件可知要证小于某数，从而通过局部放缩得到的不等关系，改变不等式的方向得到，最后由裂项相消法求得．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．若函数导函数的部分图像如图所示，则（       ）A．是的一个极大值点B．是的一个极小值点C．是的一个极大值点

5D．是的一个极小值点【答案】AB【解析】【分析】根据导函数值正负，与原函数单调性之间的关系，进行逐一判断.【详解】对于A选项，由图可知，在左右两侧，函数左增右减，是的一个极大值点，A正确.对于B选项，由图可知，在左右两侧，函数左减右增，是的一个极小值点，B正确.对于C选项，由图可知，在左右两侧，函数单调递增，不是的一个极值点，C错误.对于D选项，由图可知，在左右两侧，函数左增右减，是的一个极大值点，D错误.故选：AB.10．等差数列中，，则下列命题中为真命题的是（       ）A．公差B．C．是各项中最大的项D．是中最大的值【答案】ABD【解析】【分析】由得：，进而再等差数列的性质逐个判断即可【详解】由得：，所以，且各项中最大的项为，故A正确，C错误；，所以，故B正确；因为，等差数列递减，所以最大，故D正确；故选：ABD11．下列图象可以作为函数的图象的有（       ）

6A．B．C．D．【答案】BCD【解析】【分析】分、、三种情况讨论，分析函数的单调性与奇偶性，即可得出合适的选项.【详解】当时，，D选项满足条件；当时，函数的定义域为，，函数为奇函数，，由，可得或，由，可得，此时函数的单调递减区间为、，增区间为，B选项满足条件；当时，函数的定义域为，

7，函数为奇函数，，所以，函数的单调递减区间为、、，C选项满足条件.故选：BCD.12．已知函数若关于的不等式（是自然对数的底数）在上恒成立，则的取值可能为（       ）A．-1B．0C．D．2【答案】ABC【解析】【分析】在上恒成立，等价于的图象恒在直线的上方，利用导数求出当时，函数的单调区间，作出函数的图象，分别求出和时，直线与相切时的值，结合图象即可得出答案.【详解】解：在上恒成立，等价于的图象恒在直线的上方，当时，，，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以当时，，画出的图象，直线恒过点，当直线与，相切时，设切点，求导得，可得，则切线方程为，将点代入得：，

8则，解得，则切线的斜率为2，当直线与相切时，即直线与半圆相切，由，解得，故的取值范围是．故选：ABC．三．填空题本题共4小题，每小题5分，共20分13．函数的极值点为______．【答案】##【解析】【分析】利用导数求的极值点.【详解】由题设，当时，，递减；当时，，递增；所以由极小值点为，无极大值点.故答案为：14．数列的前项和___________.【答案】【解析】

9【分析】利用分组求和法，结合等差数列、等比数列前n项和公式求解作答.【详解】依题意，.故答案为：15．已知数列，满足，则_______.【答案】【解析】【分析】类比于求解．【详解】由题意，，两式相减得，．故答案为：．16．已知，若在区间上存在，使得成立，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由题知，函数在区间不是单调函数，进而转化为在上有解问题求解即可.【详解】由题可得，因为在区间上存在，使得成立，所以函数在区间不是单调函数，所以在上有解，所以在上有解，所以.

10所以，实数a的取值范围是.故答案为：.四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知函数(1)求函数的单调递减区间；(2)求函数的极值.【答案】(1)(2)的极小值为，无极大值.【解析】【分析】（1）求导，由导函数小于0求出单调递减区间；（2）求出函数的递增区间，结合第一问求出极小值，无极大值.(1)，令，解得：，故函数的单调递减区间是(2)令得：故在单调递减，在单调递增，所以在处取得极小值，，所以的极小值为，无极大值.18．已知等差数列的公差为2，若，，成等比数列．(1)求等差数列的通项公式；(2)若等差数列的前n项和为，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】

11（1）根据条件求出即可；（2）利用裂项相消法求出即可证明.（1）因为，，成等比数列，所以又因为为等差数列，公差为2所以，解得，则；（2）由（1）得则．19．曲线上有两点、.求：(1)割线的斜率及所在直线的方程；(2)在曲线上是否存在点，使过点的切线与所在直线平行？若存在，求出点的坐标及切线方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)存在，C为(3，3)，切线方程为．【解析】【分析】(1)利用过两点的直线的斜率计算公式即可求割线的斜率，再利用直线方程的点斜式求得所在直线的方程；(2)利用导数的几何意义即可求解．（1）、，，所在直线方程为，即；（2），令，得，x=3时，，∴存在点，使过点的切线与所在直线平行，则所求切线方程为y-3=-2(x-3)，即．20．（1）定义：若数列满足，则称为“平方递推数列”.已知：数列中，，.①求证：数列是“平方递推数列”；②求证：数列是等比数列；③求数列的通项公式；（2）已知：数列中，，，求：数列的通项.【答案】（1）①见解析；②见解析；③；（2）.【解析】【分析】（1）①依据“平方递推数列”定义，结合条件，可证数列是“平方递推数列”；②令，进而有．从而可证数列为等比数列；

12③由②知，数列是以为首项，2为公比的等比数列，故可求；（2）两边同乘以整理得，，两边取对数得：，故数列是以为首项，3为公比的等比数列，从而可求数列的通项．【详解】解：（1）①由条件，得，数列是“平方递推数列”；②令，，则，，，数列是等比数列；③由②知，，，；（2）∵，∴，，两边取对数得：，数列是以为首项，3为公比的等比数列，，，.21．已知是公比为的等比数列，前项和为，且，，，.(1)求的通项公式；(2)若对任意的，是和的等差中项，求数列的前项和.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)根据等比数列的通项公式与求和公式求出首项与公比，即可求的通项公式；(2)由对数的运算可得数列是等差数列，根据等差数列的求和公式即可求解.【详解】

13解：(1)由已知，得或（舍去），又，由，解得，所以；(2)由题意得，所以数列是首项为，公差为1的等差数列，则.22．已知函数（a∈R且a≠0）．(1)讨论函数的单调性；(2)当时，若关于x的方程有两个实数根，且，求证：．【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的定义域及导数，再分类讨论求解不等式或的解集作答.（2）利用方程根的意义求出的关系等式，再变形换元，构造函数并借助函数单调性推理作答.（1）函数定义域为，求导得，当时，恒成立，即在上单调递增，当时，当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，所以当时，的递增区间是，当时，递减区间是，递增区间是.（2）当a＝2时，方程，即为，依题意，，且，两式相减，得，即，则，令，有，，从而得，令，求导得，即函数在上单调递增，，，即，而，因此，

14恒成立，所以．