上海市实验学校2020-2021学年高一下学期期中考试数学Word版含答案

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上海市实验学校2020-2021学年度高一年级第二学期期中考试数学试卷一、填空题（本大题满分40分,共有10题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分）1．终边在轴上的角的全体用集合表示是.2．已知扇形的弧长和半径都是，则扇形的面积是.3．已知角的终边落在函数的图象上，则．4．可以写成的形式，其中，则.5．在中，已知，则角A的正弦值为．6．已知.则的值为．7．已知函数，其中.在一个周期内，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值.该函数的解析式为.8．已知函数既存在最大值，又存在最小值，则的值为．9．如图所示，在中，，AC=6，BC=8，D为AC的中点，点E在BC上，分别连接BD、AE，交点为F，若，则CE=．10．若，则函数的值域为．二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分。）11.如果，那么的值恒等于（）（A）.（B）.（C）.（D）.12．的一个充要条件是（）（A）.（B）.（C）.（D）.10

113.函数（）（A）是奇函数，也是周期函数.（B）是奇函数，不是周期函数.（C）是偶函数，也是周期函数.（D）是偶函数，不是周期函数.14．设函数，其中，已知在区间内有且只有4个零点，则下列的值中满足条件的是（）（A）（B）（C）(D)三、解答题(本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤)15、（本题满分10分）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.①求sinα的值；②若角β满足sin(α＋β)＝，求cosβ的值．16、（本题满分10分）求函数的定义域、值域及单调增区间.10

217、（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室，如图所示，是一块边长为100m的正方形地皮，扇形是运动场的一部分，其半径是80m．矩形就是拟建的健身室，其中分别在和上，在上。设矩形的面积为，，（1）将表示为的函数；（2）求健身室面积的最大值，并指出此时的点在的何处？18、（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac.(1)求角B的大小；(2)求cosA＋cosC的最大值；(3)若b＝4，求△ABC面积的最大值与周长的范围．10

3四、附加题19、（本题满分10分）设x≥y≥z≥，且x+y+z=，求乘积cosxsinycosz的最大值和最小值．20、（本题满分10分）求实数a的取值范围，使得对任意实数x和任意θ∈[0，]，恒有（x+3+2sinθcosθ)2+(x+asinθ+acosθ)2≥．10

4上海市实验学校2020-2021学年度高一第二学期期中数学参考答案一、填空题（本大题满分40分,共有10题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分）1．终边在轴上的角的全体用集合表示是.2．已知扇形的弧长和半径都是，则扇形的面积是.3．已知角的终边落在函数的图象上，则．4．可以写成的形式，其中，则.5．在中，已知，则角A的正弦值为．6．已知.则的值为．解：因为，并且，所以.7．已知函数，其中.在一个周期内，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值.该函数的解析式为.8．已知函数既存在最大值，又存在最小值，则的值为49．如图所示，在中，，AC=6，BC=8，D为AC的中点，点E在BC上，分别连接BD、AE，交点为F，若，则CE=．10．若，则函数10

5的值域为．解：是奇函数，则求出最大值即可知最小值令，则，当时，k>0，此时从而，所以函数的值域为二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分。）11.如果，那么的值恒等于（C）（A）.（B）.（C）.（D）.12．的一个充要条件是（A）（A）.（B）.（C）.（D）.13.函数（D）（A）是奇函数，也是周期函数.（B）是奇函数，不是周期函数.（C）是偶函数，也是周期函数.（D）是偶函数，不是周期函数.14．设函数，其中，已知在区间内有且只有4个零点，则下列的值中满足条件的是（）A．B．C．D．10

6三、解答题(本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤)15．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.①求sinα的值；②若角β满足sin(α＋β)＝，求cosβ的值．解：①由角α的终边过点P得sinα＝－，②由角α的终边过点P得cosα＝－，由sin(α＋β)＝得cos(α＋β)＝±.由β＝(α＋β)－α得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，所以cosβ＝－或cosβ＝.16．求函数的定义域、值域及单调增区间.解：由得已知函数的定义域为.已知函数可化为.因为，所以.10

7此时，.所以，已知函数的值域为.单调增区间为：17．某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室，如图所示，是一块边长为100m的正方形地皮，扇形是运动场的一部分，其半径是80m．矩形就是拟建的健身室，其中分别在和上，在上。设矩形的面积为，，（1）将表示为的函数；（5分）（2）求健身室面积的最大值，并指出此时的点在的何处？解：（1）延长交于，,整理得：（2）设，　则，当时，，此时，，当在的端点或处时，健身室面积最大，最大面积为2000平方米．18．在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac.(1)求角B的大小；10

8(2)求cosA＋cosC的最大值；(3)若b＝4，求△ABC面积的最大值与周长的范围．【解】　(1)由余弦定理及题设得cosB＝＝＝.又0b＝4，所以a＋b＋c>2b，所以8

9四、附加题：19．设x≥y≥z≥，且x+y+z=，求乘积cosxsinycosz的最大值和最小值．解：由于x≥y≥z≥，故≤x≤－×2=．∴cosxsinycosz=cosx×[sin(y+z)+sin(y－z)]=cos2x+cosxsin(y－z)≥cos2=．即最小值．(由于≤x≤，y≥z，故cosxsin(y－z)≥0)，当y=z=，x=时，cosxsinycosz=．∵cosxsinycosz=cosz×[sin(x+y)－sin(x－y)]=cos2z－coszsin(x－y)．由于sin(x－y)≥0，cosz>0，故cosxsinycosz≤cos2z=cos2=(1+cos)=．当x=y=，z=时取得最大值．∴最大值，最小值．20．求实数a的取值范围，使得对任意实数x和任意θ∈[0，]，恒有（x+3+2sinθcosθ)2+(x+asinθ+acosθ)2≥．解：令sinθ+cosθ=u，则2sinθcosθ=u2－1，当θ∈[0，]时，u∈[1，]．并记f(x)=(x+3+2sinθcosθ)2+(x+asinθ+acosθ)2．∴f(x)=(x+2+u2)2+(x+au)2=2x2+2(u2+au+2)x+(u2+2)2+(au)2=2[x+(u2+au+2)]2+(u2－au+2)2．∴x=－(u2+au+2)时，f(x)取得最小值(u2－au+2)2．∴u2－au+2≥，或u2－au+2≤－．∴a≤u+，或a≥u+．当u∈[1，]时，u+∈[，]；u+∈[，]．∴a≤或a≥．10