山东省济宁市邹城市2020-2021学年高一下学期期中考试数学Word版含解析

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2020-2021学年山东省济宁市邹城市高一（下）期中考试数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知向量＝（1，0），＝（2，4），则||＝（　　）A．B．5C．7D．252．1545年，意大利数学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出“将实数10分成两部分，使其积为40”的问题，即“求方程x（10﹣x）＝40的根”，卡尔丹求得该方程的根分别为5+和5﹣，数系扩充后这两个根分别记为5+i和5﹣i．若z（5+i）＝5﹣i，则复数z＝（　　）A．1﹣iB．1+iC．D．3．已知向量，，实数m，n（m≠0，n≠0），则下列关于向量的运算错误的是（　　）A．m（）＝mB．（m﹣n）＝m﹣nC．若m＝，则＝D．若m＝n，则m＝n4．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的长、宽、高分别为2，1，1，且其顶点都在球面上，则该球的体积是（　　）A．πB．6πC．36πD．8π5．如图，△A′B'C′是斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图，D′是B′C′的中点，且A′D″∥y′轴，B′C′∥x′轴，A′D′＝2，B'C′＝2，那么（　　）A．AD的长度大于AC的长度B．BC的长度等于AD的长度C．△ABC的面积为1D．△A′B′C′的面积为6．在△ABC中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2＝ac且cosB＝．若＝3，则a+c的值为（　　）A．2B．3C．4D．67．下列命题正确的是（　　）A．复数1+i是关于x的方程x2﹣mx+2＝0的一个根，则实数m＝1B．设复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，若|z1|＝|z2|，则与重合C．若|z﹣1|＝|z+1|，则复数z对应的点Z在复平面的虚轴上D．已知复数﹣1+2i，1﹣i，3﹣2i在复平面内对应的点分别为A，B，C，若＝x+y（i是虚数单位，O为复平面坐标原点，x，y∈R），则x+y＝1

18．如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则（　　）A．圆锥的母线长为18B．圆锥的表面积为27πC．圆锥的侧面展开图扇形圆心角为60°D．圆锥的体积为18二、多项选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．下列关于复数的命题中正确的是（　　）A．若z是虚数，则z不是实数B．若a，b∈R且a＞b，则a+2i＞b+iC．一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零D．复数z＝（3t﹣1）+（t2+2t+2）i（t∈R）对应的点在实轴上方10．已知△ABC中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c．下列命题正确的有（　　）A．若b＝1，c＝2，A＝，则△ABC的面积为B．若b＝5，B＝，sinA＝，则a＝2C．若sin2A+sin2B+cos2C＞1，则△ABC为锐角三角形D．若a＝，b＝2，c＝3，则＝11．已知△ABC外接圆的圆心为O，半径为2，且++＝，||＝||，则有（　　）A．＝﹣B．＝C．点O是△ABC的垂心D．在方向上的投影向量的长度为12．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则下列结论错误的是（　　）

2A．直线A1C1与BD1为异面直线B．直线BB1与平面ACD1平行C．将形状为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的铁块磨制成一个球体零件，可能制作的最大零件的表面积为16πD．若矩形ACC1A1是某圆柱的轴截面（过圆柱的轴的截面叫做圆柱的轴截面），则从A点出发沿该圆柱的侧面到相对顶点C1的最短距离是三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．）13．设复数z＝（）2021，其中i是虚数单位，则z的虚部是　　．14．某教师组织本班学生开展课外实地测量活动，如图是要测山高MN，现选择点A和另一座山的山顶（点）C作为测量观测点，从A测得点M的仰角∠MAN＝45°，点C的仰角∠CAB＝30°，测得∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，已知另一座山高BC＝300米，则山高MN＝　　．15．在平面四边形ABCD中，已知＝，P为CD上一点，＝3，||＝4，||＝3，与的夹角为θ，且cosθ＝，则＝　　．16．如图，模块①～⑤均由若干个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．（1）若从模块⑥中拿掉一个小正方体，再从模块①～⑤中选出一个模块放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个长方体，则①～⑤中选出的模块可以是　　（答案不唯一）．（2）若从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使模块⑥成为棱长为3的大正方体，则选出的三个模块是　　（答案不唯一）．四、解答题（本题共6个小题，共70分；解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．已知复数z＝+（m2﹣3m）i（m∈R）．（Ⅰ）当m取什么值时，复数z是纯虚数？

3（Ⅱ）当m＝1时，求||．18．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E，F分别是棱CC1，AA1的中点．（Ⅰ）画出平面BED1F与平面ABCD的交线，并说明理由；（Ⅱ）设H为直线B1D与平面BED1F的交点，求证：B，H，D1三点共线．19．已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中＝（1，2）．（Ⅰ）若||＝3，且，求的坐标；（Ⅱ）若是单位向量，且|k|＝|﹣k|（0＜k≤1），求的最小值，并求出此时与夹角的余弦值．20．某市政府为确保在“十四五”开局之年做好城市基础设施配套建设，优化公园环境，方便市民休闲活动．计划在城市公园内的一条小河上建造一座桥，如图为建造该桥所用的钢筋混凝土预制件模型（该模型是由一个长方体挖去一个直四棱柱而成）及尺寸（单位：米）．（Ⅰ）问：浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝士（钢筋体积略去不计）？（Ⅱ）为防止该预制件桥梁风化腐蚀，需要在其表面涂上一层保护液（假定保护液涂层均匀、单位面积使用的保护液一定），为合理购买保护液数量，请计算该预制件的表面积是多少？注：≈0.32，结果精确到0.01．21．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边．若△ABC同时满足下列四个条件中的三个：①sin＝；②a2+b2﹣c2﹣ab＝0；③b＝3；④c＝2．（Ⅰ）请指出符合题意的三个条件，并说明理由；（Ⅱ）求△ABC的面积．22．如图所示，在四边形ABCD中，∠BAC＝，BC＝1，AB+AC＝2+，AB＜AC，AB∥CD，点E为四边形ABCD的外接圆劣弧（不含端点C，D）上一动点．（Ⅰ）判断△ABC的形状，并证明；

4（Ⅱ）若＝x+y（x，y∈R），设∠DAE＝α，y＝f（α），求函数f（α）的最小值．

5参考答案一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知向量＝（1，0），＝（2，4），则||＝（　　）A．B．5C．7D．25解：根据题意，向量＝（1，0），＝（2，4），则+＝（3，4），故|+|＝＝5，故选：B．2．1545年，意大利数学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出“将实数10分成两部分，使其积为40”的问题，即“求方程x（10﹣x）＝40的根”，卡尔丹求得该方程的根分别为5+和5﹣，数系扩充后这两个根分别记为5+i和5﹣i．若z（5+i）＝5﹣i，则复数z＝（　　）A．1﹣iB．1+iC．D．解：由z（5+i）＝5﹣i，得z＝＝＝＝．故选：C．3．已知向量，，实数m，n（m≠0，n≠0），则下列关于向量的运算错误的是（　　）A．m（）＝mB．（m﹣n）＝m﹣nC．若m＝，则＝D．若m＝n，则m＝n解：由题意，向量，，实数m，n（m≠0，n≠0），由向量的运算律可得，m（）＝m，故选项A正确；由向量的运算律可得，（m﹣n）＝m﹣n，故选项B正确；若m＝，因为m≠0，则＝，故选项C正确；当时，m＝n，此时m和n不一定相等，故选项D错误．故选：D．4．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的长、宽、高分别为2，1，1，且其顶点都在球面上，则该球的体积是（　　）A．πB．6πC．36πD．8π解：长方体的体对角线的长是：＝，球的半径是：．这个球的体积：π×（）3＝π．故选：A．

65．如图，△A′B'C′是斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图，D′是B′C′的中点，且A′D″∥y′轴，B′C′∥x′轴，A′D′＝2，B'C′＝2，那么（　　）A．AD的长度大于AC的长度B．BC的长度等于AD的长度C．△ABC的面积为1D．△A′B′C′的面积为解：把斜二测画出的三角形的直观图还原原图形如图，据此分析选项：对于A，AD⊥BC，则有AC＞AD，A错误；对于B，BC＝B'C′＝2，AD＝2A′D′＝4，B错误；对于C，△ABC的面积S＝×BC×AD＝4，C错误；对于D，△A′B′C′的面积S′＝S＝，D正确；故选：D．6．在△ABC中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2＝ac且cosB＝．若＝3，则a+c的值为（　　）A．2B．3C．4D．6解：∵＝3，∴accosB＝3，∵cosB＝，∴b2＝ac＝4，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，得4＝（a+c）2﹣2ac﹣2accosB，∴（a+c）2＝18，∴a+c＝3，故选：B．7．下列命题正确的是（　　）

7A．复数1+i是关于x的方程x2﹣mx+2＝0的一个根，则实数m＝1B．设复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，若|z1|＝|z2|，则与重合C．若|z﹣1|＝|z+1|，则复数z对应的点Z在复平面的虚轴上D．已知复数﹣1+2i，1﹣i，3﹣2i在复平面内对应的点分别为A，B，C，若＝x+y（i是虚数单位，O为复平面坐标原点，x，y∈R），则x+y＝1解：对于A：复数1+i是关于x的方程x2﹣mx+2＝0的一个根，所以：（1+i）2﹣m（1+i）+2＝0，整理得：m＝2，故A错误；对于B：设复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，若|z1|＝|z2|，即这两个向量的模长相等，但是与不一定重合，故B错误；对于C：若|z﹣1|＝|z+1|，设z＝x+yi（x，y∈R），故：，整理得：x＝0，故z＝bi，故C正确；对于D：已知复数﹣1+2i，1﹣i，3﹣2i在复平面内对应的点分别为A，B，C，若＝x+y，所以（3，﹣2）＝x（﹣1，2）+y（1，﹣1），整理得：x＝1，y＝4，故x+y＝5，故D错误．故选：C．8．如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则（　　）A．圆锥的母线长为18B．圆锥的表面积为27πC．圆锥的侧面展开图扇形圆心角为60°D．圆锥的体积为18解：设圆锥的母线长为l，以S为圆心，SA为半径的圆的面积为S＝πl2，又圆锥的侧面积S圆锥侧＝πrl＝3πl，因为圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了3周，所以πl2＝3×3πl，解得l＝9，所以圆锥的母线长为9，故选项A错误；圆锥的表面积S＝S圆锥侧+S底＝3×π×9+π×32＝36π，故选项B错误；因为圆锥的底面周长为2π×3＝6π，

8设圆锥的侧面展开图扇形圆心角为α，则6π＝α•9，解得，所以圆锥的侧面展开图扇形圆心角为120°，故选项C错误；圆锥的高h＝，所以圆锥的体积为π，故选项D正确．故选：D．二、多项选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．下列关于复数的命题中正确的是（　　）A．若z是虚数，则z不是实数B．若a，b∈R且a＞b，则a+2i＞b+iC．一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零D．复数z＝（3t﹣1）+（t2+2t+2）i（t∈R）对应的点在实轴上方解：根据虚数的定义，A正确；B选项，虚数不能比较大小，错误；C选项，一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零且虚部不等于0，说法错误；D选项，对应点的坐标为（3t﹣1，t2+2t+2），因为t²+2t+2＝（t+1）²+1＞0，所以点在x轴上方，说法正确．故选：AD．10．已知△ABC中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c．下列命题正确的有（　　）A．若b＝1，c＝2，A＝，则△ABC的面积为B．若b＝5，B＝，sinA＝，则a＝2C．若sin2A+sin2B+cos2C＞1，则△ABC为锐角三角形D．若a＝，b＝2，c＝3，则＝解：选项A，△ABC的面积S＝bcsinA＝×1×2×sin＝，即选项A正确；选项B，由正弦定理知，，所以，解得a＝2，即选项B正确；选项C，因为sin2A+sin2B+cos2C＞1，所以sin2A+sin2B＞1﹣cos2C＝sin2C，结合正弦定理，得a2+b2＞c2，

9由余弦定理知，cosC＝＞0，所以C为锐角，但无法确定A和B的大小，即选项C错误；选项D，由余弦定理知，cosA＝＝＝，所以＝cb•cos（π﹣A）＝3×2×（﹣）＝﹣，即选项D错误．故选：AB．11．已知△ABC外接圆的圆心为O，半径为2，且++＝，||＝||，则有（　　）A．＝﹣B．＝C．点O是△ABC的垂心D．在方向上的投影向量的长度为解：因为++＝，所以+﹣+﹣＝，所以＝﹣，故A正确；由++＝，可得＝﹣＝，所以四边形OBAC为平行四边形，又O为△ABC外接圆的圆心，所以||＝||，又||＝||，所以△OAB为正三角形，因为△ABC外接圆的半径为2，所以四边形OBAC是边长为2的菱形，所以OA⊥BC，所以•＝0，即•（﹣）＝0，所以＝，故B正确；由以上分析可得∠BAC＝，△ABC为钝角三角形，故△ABC的外心O不是垂心，故C错误；由四边形OBAC是边长为2的菱形，可得∠ACB＝，所以在方向上的投影向量的长度为||cos＝2×＝，故D正确．故选：ABD．12．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则下列结论错误的是（　　）

10A．直线A1C1与BD1为异面直线B．直线BB1与平面ACD1平行C．将形状为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的铁块磨制成一个球体零件，可能制作的最大零件的表面积为16πD．若矩形ACC1A1是某圆柱的轴截面（过圆柱的轴的截面叫做圆柱的轴截面），则从A点出发沿该圆柱的侧面到相对顶点C1的最短距离是解：根据题意，依次分析选项：对于A，直线A1C1与BD1既不平行也不相交，是异面直线，A正确；对于B，BB1∥DD1，而直线DD1与平面ACD1相交，故直线BB1与平面ACD1也相交，B错误；对于C，将形状为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的铁块磨制成一个球体零件，当球的半径为棱长一半，即其半径为1时，球的表面积最大，其表面积最大值S＝4π×12＝4π，C错误；对于D，从A点沿圆柱的侧面到相对顶点C1的最短距离即为圆柱侧面展开图一个顶点到对边中点的距离，即其最短距离d＝，D正确；故选：BC．三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．）13．设复数z＝（）2021，其中i是虚数单位，则z的虚部是　﹣1　．解：∵，∴z＝（）2021＝（﹣i）2021＝﹣i2021＝﹣i4×505+1＝﹣i，∴z的虚部是﹣1．故答案为：﹣1．14．某教师组织本班学生开展课外实地测量活动，如图是要测山高MN，现选择点A和另一座山的山顶（点）C作为测量观测点，从A测得点M的仰角∠MAN＝45°，点C的仰角∠CAB＝30°，测得∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，已知另一座山高BC＝300米，则山高MN＝　300　．

11解：在△ABC中，BC⊥AB，∠CAB＝30°，BC＝300，所以可得AC＝＝＝600，在△MAC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，所以∠AMC＝180°﹣75°﹣60°＝45°，由正弦定理可得：＝，即＝，所以可得AM＝300，在Rt△AMN中，∠MAN＝45°，所以MN＝AM•sin∠MAN＝300×＝300；故答案为：300．15．在平面四边形ABCD中，已知＝，P为CD上一点，＝3，||＝4，||＝3，与的夹角为θ，且cosθ＝，则＝　﹣2　．解：∵＝，∴四边形ABCD为平行四边形，∵＝3，∴＝+，＝﹣，又∵AB＝4，AD＝3，cosθ＝，∴∴•＝（+）•（﹣）＝•﹣+＝×﹣9+×16＝﹣2，故答案为：﹣2．16．如图，模块①～⑤均由若干个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．（1）若从模块⑥中拿掉一个小正方体，再从模块①～⑤中选出一个模块放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个长方体，则①～⑤中选出的模块可以是　②【或③或④】　（答案不唯一）．（2）若从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使模块⑥成为棱长为3的大正方体，则选出的三个模块是　①③⑤【或②③④】　（答案不唯一）．解：（1）由图可知，①～⑤中选出一个模块可以是②，也可以是③，也可以是④．（2）以②③④为例，中间层用③补齐，最上层用②④，还可以是①③⑤，中间层用③补齐，最上层用①⑤，

12故答案为：②（或③或④），①③⑤（或②③④）．四、解答题（本题共6个小题，共70分；解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．已知复数z＝+（m2﹣3m）i（m∈R）．（Ⅰ）当m取什么值时，复数z是纯虚数？（Ⅱ）当m＝1时，求||．解：（I）若z为纯虚数，则，解得m＝﹣1．故当m＝﹣1时，复数z是纯虚数．（II）当m＝1时，z＝﹣4﹣2i，∵，∴||＝．18．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E，F分别是棱CC1，AA1的中点．（Ⅰ）画出平面BED1F与平面ABCD的交线，并说明理由；（Ⅱ）设H为直线B1D与平面BED1F的交点，求证：B，H，D1三点共线．解：（Ⅰ）如图所示，直线PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线，理由如下：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵E，F分别是棱CC1，AA1的中点，DA⊂平面AA1D1D，D1F⊂平面AA1D1D，且DA与D1F不平行，∴在平面AA1D1D内分别延长D1F，DA，则D1F与DA必相交于一点，不妨设为点P，∴P∈AD，P∈D1F，∵DA⊂平面ABCD，D1F⊂平面BED1F，∴P∈平面ABCD，D1，P∈平面BED1F，即P为平面ABCD和平面BED1F的公共点，又∵B为平面ABCD和平面BED1F的公共点，连接PB，∴直线PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线．证明（Ⅱ）：如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵BB1∥DD1，，且BB1＝DD1，∴四边形BB1D1D为平行四边形，

13∵H为直线B1D与平面BED1F的交点，∴H∈B1D，又∵B1D⊂平面BB1D1D，∴H∈平面BB1D1D，又∵H∈平面BED1F，平面BED1F∩平面BB1D1D＝BD1，∴H∈BD1，∴B，H，D1三点共线．19．已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中＝（1，2）．（Ⅰ）若||＝3，且，求的坐标；（Ⅱ）若是单位向量，且|k|＝|﹣k|（0＜k≤1），求的最小值，并求出此时与夹角的余弦值．解：（Ⅰ）∵＝（1，2），且，∴，由||＝3，得＝＝，得λ＝±3，∴＝（3，6）或（﹣3，﹣6）；（Ⅱ）由|k|＝|﹣k|，得，∴，∵，，∴，可得，∵0＜k≤1，令g（k）＝，则g（k）在（0，1]上单调递减，可得g（k）min＝g（1）＝1．即的最小值为1．此时与夹角的余弦值cos＜＞＝．20．某市政府为确保在“十四五”

14开局之年做好城市基础设施配套建设，优化公园环境，方便市民休闲活动．计划在城市公园内的一条小河上建造一座桥，如图为建造该桥所用的钢筋混凝土预制件模型（该模型是由一个长方体挖去一个直四棱柱而成）及尺寸（单位：米）．（Ⅰ）问：浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝士（钢筋体积略去不计）？（Ⅱ）为防止该预制件桥梁风化腐蚀，需要在其表面涂上一层保护液（假定保护液涂层均匀、单位面积使用的保护液一定），为合理购买保护液数量，请计算该预制件的表面积是多少？注：≈0.32，结果精确到0.01．解：（Ⅰ）由题意，该预制件是由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的直四棱柱EFGH﹣E1F1G1H1后剩下的几何体，则所求混凝土的量等价于该几何体的体积，因为S几何体底ABCDEFGH＝0.6×1.1﹣×0.3＝0.54，所以V几何体底ABCDEFGH•AA1＝0.54×21＝11.34（立方米），故浇制一个这样的预制件需要11.34立方米混凝士；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该预制件底面面积为2S几何体底ABCDEFGH＝2×0.54＝1.08，其余侧面均为长方形，且AB＝CD＝0.6，BC＝1.1，EF＝GH＝，AH＝DE＝FG＝0.3，所有侧面面积之和为（AB+BC+CD+DE+EF+FG+GH+HA）×AA1＝（0.6+1.1+0.6+0.3×3+0.32×2）×21＝80.64，所以该预制件的表面积是1.08+80.64＝81.72（平方米）．21．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边．若△ABC同时满足下列四个条件中的三个：①sin＝；②a2+b2﹣c2﹣ab＝0；③b＝3；④c＝2．

15（Ⅰ）请指出符合题意的三个条件，并说明理由；（Ⅱ）求△ABC的面积．解：（Ⅰ）符合题意的三个条件是②③④，理由如下：条件①sin＝，则＝或，∴B＝或（舍），即B＝，条件②a2+b2﹣c2﹣ab＝0，由余弦定理知，cosC＝＝＝，∵C∈（0，π），∴C＝，∵B+C＜π，∴①②只能选择一个，若选①③④，由于b＝3，c＝2，即c＞b，∴C＞B＝，与B+C＜π相矛盾，故①③④不能同时选，∴符合题意的三个条件是②③④．（Ⅱ）∵a2+b2﹣c2﹣ab＝0，b＝3，c＝2，∴a2+9﹣12﹣3a＝0，即a2﹣3a﹣3＝0，解得a＝或（舍负），∴△ABC的面积S＝absinC＝××3×sin＝．22．如图所示，在四边形ABCD中，∠BAC＝，BC＝1，AB+AC＝2+，AB＜AC，AB∥CD，点E为四边形ABCD的外接圆劣弧（不含端点C，D）上一动点．（Ⅰ）判断△ABC的形状，并证明；（Ⅱ）若＝x+y（x，y∈R），设∠DAE＝α，y＝f（α），求函数f（α）的最小值．【解答】证明：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理知：CB2＝AB2+AC2﹣2AC•AB•cos∠CAB，∴1＝（AB+AC）2﹣（2）AC•AB，又因为AB+AC＝2，所以AC•AB＝2所以AB，AC分别为方程x2﹣（2）x+2＝0的两根，因为AB＜AC，所以AB＝，AC＝2，

16所以AC2＝AB2+BC2，所以AB⊥BC，即△ABC为直角三角形（Ⅱ）解：如图，因为AB⊥BC，所以AC是四边形ABCD的外接圆的直径，AD⊥DC，所以四边形ABCD为矩形，连接DE，∠AED＝∠ACD＝，设AE交CD于F，作CG平行于AF且交AB于G，则四边形AGCF为平行四边形，所以＝+，又因为＝x+y（x，y∈R），由平面向量基本定理知：＝y，所以y＝，在△ADE中，因为∠AED＝，∠DAE＝α，所以∠ADE＝﹣α，由正弦定理知：＝，所以AE＝2sin（﹣α），在Rt△ADF中，AF＝＝，所以f（α）＝y＝＝＝＝＝，α∈（0，），因为α∈（0，），所以2α+∈（，），∴sin（2α+）∈（，1]，∴1+2sin（2α+）∈（2，3]，所以，当α＝时，f（α）取最小值，最小值为．