1C．a＝0D．a＝2或a＝07、如图所示,为矩形所在平面外一点,矩形对角线交点为,为的中点,给出五个结论:①;②平面;③平面;④平面;⑤平面.其中正确的个数是()A.B.C.D.8．（改编）两平行平面截半径为13的球，若截面面积分别为25π和144π，则这两个平面间的距离是( )A．7B．17C．5或12D．7或17二、多选题（每题5分，共20分。少选得三分，多选或者错选不得分）9．（原题）圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的( )A．母线长是20B．表面积是1100πC．高是10D．体积是π10、一个正方体纸盒展开后如右图,在原正方体纸盒中有下列结论:①;②与成的角;③与是异面直线;④.其中正确的是()A.①B.②C.③D.④
211、如图,在中,是的中点,是上的一点,且,若,其中,,则()A.B.C.D.12、在中,,,为三个内角,,的对边,若,则角()A.B.C.D.三、填空题（每题5分，共20分）13、（改编）△ABC中，A＝30°，a＝3，则＝________.14、已知一个圆台的上、下底面半径分别为，，高为，则该圆台的母线长为__________．15、如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在点A处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短路线的长是__________。（第17题）（第16题）（第15题）
316、（原题）如图，AB，CD分别表示甲、乙两楼，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C处的仰角α＝30°，测得乙楼底部D处的俯角β＝60°，已知甲楼高AB＝24m，则乙楼高CD＝________m.四、简答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）17、如图所示，在□中，分别是的中点，若，试以表示和．18、为绘制海底地貌图,测量海底两点,间的距离,海底探测仪沿水平方向在,两点进行测量,,,,在同一个铅垂平面内.海底探测仪测得,,,,,两点的距离为海里.(1)求的面积;(2)求,之间的距离.19、已知向量,.(1)若,求的值;(2)若,求.20、如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点．求证：(1)直线平面；(2)平面平面.21、已知的三个内角,,所对的边分别为,,,是锐角,且.(1)求;(2)若,的面积为,求的值.22、已知某圆锥的轴截面是面积为的等边三角形,球内切于该圆锥.(1)求该圆锥的高;(2)求内切球的体积.博野县实验中学2020-2021学年度第二学期期中考试
4高一数学试卷解析版一、单选题（每题五分，共计40分）1、（原创）复数Z=4i+3，则||=（）A．7B．1C．5D．3.5解析：=-4i+3，则||=5答案：C2、（原题）(2019·上海高一期中)在边长为1的等边三角形ABC中，|－|的值为( )A．1B．2C.D．解析 如图所示，延长CB到点D，使BD＝1，连接AD，则－＝＋＝＋＝
5.在△ABD中，AB＝BD＝1，∠ABD＝120°，易求得AD＝，所以|－|＝.答案 D3、（原题）平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于( )A.B．2C．4D．12解析 ∵a＝(2,0)，|b|＝1，∴|a|＝2，a·b＝2×1×cos60°＝1.∴|a＋2b|＝＝2.答案 B4、在△ABC中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是( )A．2B.C．3D．解析 BC中点为D，＝，∴||＝.答案 B5、（原题）在不等边三角形中，a是最大的边，若a26A.B.C.D．解析 ∵a20，∴cosA>0，A<.∵a是最大的边，∴A是最大的角．又三角形不是等边三角形，∴A>，∴7【解析】显然,又平面,平面,∴平面,平面,∴①②③正确.8．（改编）两平行平面截半径为13的球，若截面面积分别为25π和144π，则这两个平面间的距离是( )A．7B．17C．5或12D．7或17解析 如图①所示，若两个平行平面在球心同侧，则CD＝12－5＝7；如图②所示，若两个平行平面在球心两侧，则CD＝12＋5＝17.答案 D二、多选题（每题5分，共20分。少选得三分，多选或者错选不得分）9．（原题）圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的( )A．母线长是20B．表面积是1100πC．高是10D．体积是π解析
8如图所示，设圆台的上底面周长为C，因为扇环的圆心角为180°，所以C＝π·SA，又C＝10×2π，所以SA＝20，同理SB＝40，故圆台的母线AB＝SB－SA＝20，高h＝＝10，体积V＝π×10×(102＋10×20＋202)＝π，表面积S＝π(10＋20)×20＋100π＋400π＝1100π，故选ABD.答案 ABD10、一个正方体纸盒展开后如下图,在原正方体纸盒中有下列结论:①;②与成的角;③与是异面直线;④.其中正确的是()A.①B.②C.③D.④【答案】AC
9【解析】将正方体纸盒展开图还原成正方体,如图,由图知,,与是异面直线,,,只有①③正确.11、如图,在中,是的中点,是上的一点,且,若,其中,,则()A.B.C.D.【答案】A,B,C【解析】在平行四边形中,因为是中点，所以,所以,因为,所以,所以,因为,所以,解得,所以,,,故选A、B、C.12、在中,,,为三个内角,,的对边,若,则角()A.B.C.D.
10【答案】B,D【解析】根据余弦定理可知,则或.三、填空题（每题5分，共20分）13、（改编）△ABC中，A＝30°，a＝3，则＝________.解析 设△ABC的外接圆半径为R，则2R＝＝＝＝＝6.则＝＝2R＝6答案 614、已知一个圆台的上、下底面半径分别为，，高为，则该圆台的母线长为__________．【答案】.【解析】圆台的上、下底面半径分别为，，高为，圆台的轴截面是等腰梯形，该圆台的母线长即为等腰梯形的腰长：.15、如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在点A处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短路线的长是__________。
11【答案】【解析】把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成平面图形——矩形，在矩形中求最短距离即可。如图所示，连接，则即为蚂蚁爬行的最短距离。∵，且，∴=∴蚂蚁爬行的最短路线的长为。16、（原题）如图，AB，CD分别表示甲、乙两楼，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C处的仰角α＝30°，测得乙楼底部D处的俯角β＝60°，已知甲楼高AB＝24m，则乙楼高CD＝________m.
12解析 如图，AE⊥CD，垂足为E，则ED＝AB＝24m，AE＝＝＝8(m)．在Rt△ACE中，CE＝AE·tan30°＝8×＝8(m)，所以CD＝CE＋ED＝8＋24＝32(m)．答案 32四、简答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）17、如图所示，在□中，分别是的中点，若，试以表示和．【答案】(1)，(2)．【解析】（1）;（2）.18、已知向量,.(1)若,求的值;(2)若,求.【答案】见解析
13【解析】(1)因为向量,,,所以,解得:.(2)若,则,解得或;因此或,因此或.19、为绘制海底地貌图,测量海底两点,间的距离,海底探测仪沿水平方向在,两点进行测量,,,,在同一个铅垂平面内.海底探测仪测得,,,,,两点的距离为海里.(1)求的面积;(2)求,之间的距离.【答案】见解析;【解析】(1)在中∵,∴,由正弦定理可得,,,则的面积(平方海里)(2)∵,,∴,∴.在中,由余弦定理得,,即(海里).20、如图，在正方体中，是的中点，分别是
14的中点．求证：(1)直线平面；(2)平面平面.【答案】略【解析】证明：(1)如图，连接，∵分别是，的中点，∴.又∵平面，平面.∴直线平面.(2)连接，∵分别是，的中点，∴.又∵平面，平面，∴平面.又平面，且平面，平面，，∴平面平面.21、已知的三个内角,,所对的边分别为,,,是锐角,且.(1)求;(2)若,的面积为,求的值.【答案】见解析【解析】(1)∵,由正弦定理得:,∵,∴,又为锐角,∴.(2)由面积公式得:,由余弦定理得:,∴.
1522、(2020安徽省池州市高二期末(理))已知某圆锥的轴截面是面积为的等边三角形,球内切于该圆锥.(1)求该圆锥的高;(2)求内切球的体积.【答案】见解析【解析】作出该圆锥的轴截面如图所示:(1)依题意,,解得,故,,即该圆锥的高为.(2)依题意,,故,设,则,故,故,故圆锥的内切球体积.
