河北省唐山市迁西县第一中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学Word版含解析

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2020-2021学年河北省唐山市迁西一中高一下学期期中考试数学试卷一．单项选择题（共8小题）.1．复数z满足z＝1﹣i，则|z|＝（　　）A．2B．C．D．2．已知向量，满足||＝1，＝﹣1，则•（2）＝（　　）A．4B．3C．2D．03．已知i是虚数单位，复数的共轭复数是（　　）A．iB．﹣iC．1D．﹣14．在△ABC中，已知A＝60°，a＝，b＝，则B等于（　　）A．45°或135°B．60°C．45°D．135°5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线BC1与B1D1所成角为（　　）A．30°B．45°C．60°D．90°6．已知AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，且，，则为（　　）A．B．C．D．7．已知直线l、m，平面α、β、γ．则下列条件能推出l∥m的是（　　）A．l⊂α，m⊂β，α∥βB．α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝mC．l∥α，m⊂αD．l⊂α，α∩β＝m8．已知平面内一点P及△ABC，若，则点P与△ABC的位置关系是（　　）A．点P在线段AB上B．点P在线段BC上C．点P在线段AC上D．点p在△ABC外部二．多项选择题（共4个小题，每题5分，共20分）9．已知复数z＝，则（　　）A．z2021是纯虚数B．若|z1﹣z|＝1，则|z1|的最大值是2C．z的共轭复数为﹣iD．复数+z•i在复平面内对应的点在第二象限10．下列命题为假命题的是（　　）A．若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合-16-

1B．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直C．垂直于同一条直线的两条直线相互平行D．若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面不垂直11．下列说法正确的是（　　）A．若向量，则M，P，Q三点共线B．若非零向量和不共线，若和共线，则k＝1C．与向量垂直的单位向量可以是D．平面上三点的坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，3），C（3，4），若点D与A，B，C三点能构成平行四边形四个顶点．则D的坐标可以是（4，6）12．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（　　）A．直线D1D与直线AF垂直B．直线A1G与平面AEF平行C．平面AEF截正方体所得的截面面积为D．点C与点G到平面AEF的距离相等三．填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．若复数z＝（a2﹣a）+ai（i是虚数单位，a∈R）是纯虚数，则a＝　　．14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝2，b＝2，sinB+cosB＝，则角A的大小为　　．15．如图：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AA1⊥面ABC，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件　　时，有AB1⊥BC1．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）．-16-

216．已知△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且﹣csinB＝a，则B＝　　．四．解答题（共6小题，共70分）17．已知||＝4，||＝3，（2﹣3）•（2+）＝61．求：（1）与的夹角；（2）|+|．18．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2cos（B﹣C）＝4sinB•sinC﹣1．（1）求A；（2）若a＝3，sin＝，求b．19．在①acosC+asinC﹣b﹣c＝0；②（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsinC；③2cosA（ccosB+bcosC）＝a这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并加以解答．问题：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足______．（1）求A；（2）若a＝3，且向量＝（1，sinB）与＝（2，sinC）共线，求△ABC的面积．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求四棱锥P﹣ABCD的侧面积．21．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°．（1）证明：直线BC∥平面PAD；（2）若△PCD面积为2，求四棱锥P﹣ABCD的体积．-16-

322．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中AA1＝AD＝1，E为CD中点．（1）求证：B1E⊥AD1；（2）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．-16-

4参考答案一．单项选择题（共8小题）.1．复数z满足z＝1﹣i，则|z|＝（　　）A．2B．C．D．解：∵z＝1﹣i，∴|z|＝．故选：C．2．已知向量，满足||＝1，＝﹣1，则•（2）＝（　　）A．4B．3C．2D．0解：向量，满足||＝1，＝﹣1，则•（2）＝2﹣＝2+1＝3，故选：B．3．已知i是虚数单位，复数的共轭复数是（　　）A．iB．﹣iC．1D．﹣1解：∵＝＝，∴复数的共轭复数是﹣i．故选：B．4．在△ABC中，已知A＝60°，a＝，b＝，则B等于（　　）A．45°或135°B．60°C．45°D．135°解：由正弦定理知：sinB＝＝＝．∵0＜B＜π∴B＝45°或135°又∵a＝＞b＝，∴B＜A，∴B∴B＝45°故选：C．5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线BC1与B1D1所成角为（　　）A．30°B．45°C．60°D．90°-16-

5解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1∥AD1连接AB1，B1D1，AD1，则AD1＝AB1＝B1D1，∴△AD1B1为等边三角形，故∠AD1B1＝60°，即AD1与B1D1所成角为60°，即BC1与B1D所成角为60°．故选：C．6．已知AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，且，，则为（　　）A．B．C．D．解：如图，设，则＝∴，∴＝故选：B．7．已知直线l、m，平面α、β、γ．则下列条件能推出l∥m的是（　　）A．l⊂α，m⊂β，α∥βB．α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝mC．l∥α，m⊂αD．l⊂α，α∩β＝m解：l⊂α，m⊂β，α∥β，可知l∥m或l与m是异面直线．所以A不正确；α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m，满足平面与平面培训的性质定理，所以B正确；-16-

6l∥α，m⊂α，可知l∥m或l与m是异面直线．所以C不正确；l⊂α，α∩β＝m，可知l∥m或l与m是相交直线．所以D不正确；故选：B．8．已知平面内一点P及△ABC，若，则点P与△ABC的位置关系是（　　）A．点P在线段AB上B．点P在线段BC上C．点P在线段AC上D．点p在△ABC外部解：∵，∴＝，即，得．由共线向量定理知，A、P、C三点共线，且||＝2||，即点P在线段AC上，P且为AC的一个三等分点，如右图所示．故选：C．二．多项选择题（共4个小题，每小题至少有两个正确选项，每题5分，共20分）9．已知复数z＝，则（　　）A．z2021是纯虚数B．若|z1﹣z|＝1，则|z1|的最大值是2C．z的共轭复数为﹣iD．复数+z•i在复平面内对应的点在第二象限解：∵z＝＝，∴z2021＝i2021＝（i4）505•i＝i，是纯虚数，故A正确；若|z1﹣z|＝1，即|z1﹣i|＝1，则z1所对应点的轨迹为以（0，1）为圆心，以1为半径的圆，则|z1|的最大值是2，故B正确；z的共轭复数为﹣i，故C正确；+z•i＝﹣i+i•i＝﹣1﹣i，在复平面内对应点的坐标为（﹣1，﹣1），在第三象限，故D错误．故选：ABC．10．下列命题为假命题的是（　　）A．若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合-16-

7B．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直C．垂直于同一条直线的两条直线相互平行D．若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面不垂直解：对于A：两个相交平面有一条交线，交线由无数个公共点，但是这两个平面不重合，故A错误；对于B：若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，这是面面垂直的判定定理，故B正确；对于C：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，故C错误；对于D：若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面不垂直，故D正确；故选：AC．11．下列说法正确的是（　　）A．若向量，则M，P，Q三点共线B．若非零向量和不共线，若和共线，则k＝1C．与向量垂直的单位向量可以是D．平面上三点的坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，3），C（3，4），若点D与A，B，C三点能构成平行四边形四个顶点．则D的坐标可以是（4，6）解：对于A：向量，则，故M、P、Q三点共线，故A正确；对于B：非零向量和不共线，若和共线，则k＝±1，故B错误；对于C：向量垂直的单位向量可以是＝，满足，故C正确；对于D：平面上三点的坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，3），C（3，4），若点D与A，B，C三点能构成平行四边形四个顶点．则D的坐标有三种情况，当AD和BC为对角线时，利用中点坐标公式解得：D（4，6），故D正确；故选：ACD．12．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（　　）-16-

8A．直线D1D与直线AF垂直B．直线A1G与平面AEF平行C．平面AEF截正方体所得的截面面积为D．点C与点G到平面AEF的距离相等解：取DD1中点M，则AM为AF在平面AA1D1D上的射影，∵AM与DD1不垂直，∴AF与DD1不垂直，故A错；取B1C1中点N，连接A1N，GN，可得平面A1GN∥平面AEF，故B正确；把截面AEF补形为四边形AEFD1，由等腰梯形计算其面积S＝，故C正确；假设C与G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG的中点，连接CG交EF于H，而H不是CG中点，则假设不成立，故D错．故选：BC．三．填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．若复数z＝（a2﹣a）+ai（i是虚数单位，a∈R）是纯虚数，则a＝　1　．解：复数z＝（a2﹣a）+ai是纯虚数，则a2﹣a＝0，a≠0，解得a＝1．故答案为：1．14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝2，b＝2，sinB+cosB＝，则角A的大小为　90°　．解：由sinB+cosB＝，两边平方可得1+2sinBcosB＝2，∴2sinBcosB＝1，即sin2B＝1，∵0＜B＜π，∴B＝45°，又∵a＝2，b＝2，在△ABC中，由正弦定理得：＝，解得sinA＝1，-16-

9又A为三角形内角，∴A＝90°．故答案为：90°．15．如图：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AA1⊥面ABC，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件　A1C1⊥B1C1　时，有AB1⊥BC1．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）．解：当底面A1B1C1满足条件A1C1⊥B1C1时，有AB1⊥BC1．理由如下：∵AA1⊥面ABC，BC＝CC1，∴四边形BCC1B1是正方形，∴BC1⊥B1C，∵CC1∥AA1，∴A1C1⊥CC1．又A1C1⊥B1C1，CC1∩B1C1＝C1，CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，∴A1C1⊥平面BCC1B1，∵AC∥A1C1，∴AC⊥平面BCC1B1，∵BC1⊂平面BCC1B1，∴BC1⊥AC，∵AC、B1C⊂平面ACB1，∴BC1⊥平面ACB1，∴当底面A1B1C1满足条件A1C1⊥B1C1时，有AB1⊥BC1．故答案为：A1C1⊥B1C1．16．已知△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且﹣csinB＝a，则B＝　（或135°）　．解：△ABC中，由﹣csinB＝a，由余弦定理得bcosC﹣csinB＝a，由正弦定理得sinBcosC﹣sinCsinB＝sinA，即sinBcosC﹣sinCsinB＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC，所以﹣sinCsinB＝cosBsinC；又C∈（0，π），所以sinC≠0，所以﹣sinB＝cosB，-16-

10所以tanB＝﹣1；又B∈（0，π），所以B＝（或135°）．故答案为：（或135°）．四．解答题（共6小题，共70分）17．已知||＝4，||＝3，（2﹣3）•（2+）＝61．求：（1）与的夹角；（2）|+|．解：（1）∵，∴，即﹣3×32＝61．化为＝﹣．∴．（2）＝＝＝．18．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2cos（B﹣C）＝4sinB•sinC﹣1．（1）求A；（2）若a＝3，sin＝，求b．解：（1）由2cos（B﹣C）＝4sinBsinC﹣1得，2（cosBcosC+sinBsinC）﹣4sinBsinC＝﹣1，即2（cosBcosC﹣sinBsinC）＝﹣1．从而2cos（B+C）＝﹣1，得cos（B+C）＝﹣．…4分∵0＜B+C＜π∴B+C＝，故A＝．…6分（2）由题意可得，0＜B＜π∴，由sin，得cos＝，∴sinB＝2sincos＝．…10分-16-

11由正弦定理可得，∴，解得b＝．…12分．19．在①acosC+asinC﹣b﹣c＝0；②（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsinC；③2cosA（ccosB+bcosC）＝a这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并加以解答．问题：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足______．（1）求A；（2）若a＝3，且向量＝（1，sinB）与＝（2，sinC）共线，求△ABC的面积．解：（1）若选①，因为acosC+asinC﹣b﹣c＝0，所以sinC+cosC＝，整理得：sinC+cosC＝，所以sinCsinA+cosCsinA＝sin（A+C）+sinC，化简得：（sinA−cosA）sinC＝sinC，所以sinA−cosA＝1，故sin（A﹣30°）＝，由于0°＜A＜180°，所以A＝60°．若选②，因为（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsinC，整理可得sin2B+sin2C﹣sin2A＝sinBsinC，由正弦定理可得b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理可得cosA＝＝＝，由于0°＜A＜180°，所以A＝60°．若选③，因为2cosA（ccosB+bcosC）＝a，整理得：2cosA（sinCcosB+sinBcosC）＝sinA，所以2cosAsinA＝sinA，整理得：cosA＝，由于0°＜A＜180°，所以A＝60°．（2）∵向量＝（1，sinB）与＝（2，sinC）共线，-16-

12∴sinC﹣2sinB＝0，可得sinC＝2sinB，即c＝2b，∵A＝60°，a＝3，∴由余弦定理可得9＝b2+c2﹣bc＝b2+4b2﹣2b2＝3b2，解得b＝，c＝2，∴△ABC的面积S＝bcsinA＝＝．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求四棱锥P﹣ABCD的侧面积．解：（1）证明：由∠BAP＝∠CDP＝90°，可得AB⊥AP，CD⊥DP，由于AB∥CD，可得AB⊥DP，而AP，DP为平面PAD内的两条相交直线，所以AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD；（2）设PA＝PD＝AB＝DC＝a，由∠APD＝90°，可得AP⊥DP，则AD＝AP＝a，由AB⊥平面PAD，可得AB⊥AP，则PB＝AB＝a，又CD⊥DP，可得PC＝CD＝a，而BC＝AD＝a，所以四棱锥P﹣ABCD的侧面积为S△PAD+S△PCD+S△PBC+S△PAB＝a2+a2+（a）2+a2＝a2+a2．21．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°．（1）证明：直线BC∥平面PAD；-16-

13（2）若△PCD面积为2，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】（1）证明：四棱锥P﹣ABCD中，∵∠BAD＝∠ABC＝90°．∴BC∥AD，∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴直线BC∥平面PAD；（2）解：四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°．设AD＝2x，则AB＝BC＝x，CD＝，O是AD的中点，连接PO，OC，CD的中点为：E，连接OE，则OE＝，PO＝，PE＝＝，△PCD面积为2，可得：＝2，即：，解得x＝2，PO＝2．则VP﹣ABCD＝×（BC+AD）×AB×PO＝＝4．22．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中AA1＝AD＝1，E为CD中点．（1）求证：B1E⊥AD1；（2）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．-16-

14【解答】（1）证明：连接A1D，B1C，∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，∴A1D⊥AD1，∵A1B1⊥平面A1ADD1，∴AD1⊥A1B1，∵A1D∩A1B1＝A1，∴AD1⊥平面A1B1CD，∵B1E⊂平面A1B1CD，∴B1E⊥AD1；（2）解：存在AA1的中点P，使得DP∥平面B1AE，证明如下：取AA1的中点P，AB1的中点Q，连接PQ，则PQ∥A1B1，且PQ＝A1B1，∵DE∥A1B1，且DE＝A1B1，∴PQ∥DE且PQ＝DE∴四边形PQDE为平行四边形，∴PD∥QE又PD⊄平面AB1E，QE⊆平面AB1E∴PD∥平面AB1E此时AP＝AA1．-16-

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