matlab在优化设计中的应用【可编辑范本】

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Ｍａtlａb在优化设计中的应用摘要常见的优化问题包括线性规划、无约束优化、约束优化、最下二乘优化、多目标规划等.本文研究了matlab在这些常见优化问题中的应用及求解。在进行研究本课题之前，我们先通过网络、电子书刊等各种有效渠道获取我们所需信息，在充分了解与熟练掌握了各种优化问题的具体特点及性质后,我们给出了关于如何用ｍａtlab进行多类优化问题的求解基本方法,在此前提下，为了体现该软件在这些优化领域的实际应用效果，我们结合若干个优化问题的实例进行分析、建模、以及运用mａtｌａb编程求解，在求解过程中,通过得到的精确数据和反应结果的图例，我们了解到matlab工具箱的功能强大，是处理优化问题的非常方便的编程工具。关键词:mａtlab　优化问题二、基本概念2.1。1　线性规划线性规划是优化的一个重要分支。它在理论和算法上都比较成熟,在实际中有广泛的应用。例如数学表达形式:在MTLAB提供的优化工具箱中，解决规划的命令是，它的调用格式如下,求解下列形式的线性规划：求解下面形式的线性规划：

1若没有不等式约束，则只需命令。求解下面形式的线性规划:若没有不等式约束，则只需令；若只有下界约束，则可以不用输入。２.1。２　无约束优化算法对于无约束优化问题，已经有许多有效的算法．这些算法基本都是迭代法,它们都遵循下面的步骤：①选取初始点ｘ0　，一般来说初始点越靠近最优解越好;②如果当前迭代点ｘk不是原问题的最优解，那么就需要找一个搜索方向pk,使得目标函数f(x）从xｋ出发，沿方向pk有所下降；③用适当的方法选择步长ａk（≥0)，得到下一个迭代点xｋ＋1=ｘk+akpk;④检验新的迭代点ｘk＋1是否为原问题的最优解,或者是否与最优解的近似误差满足预先给定的容忍度。2。１。3单变量约束优化问题单变量约束优化问题的标准形式为即为求目标函数在区间(a,ｂ)上的极小点。2.1.4最小二乘法优化最小二乘优化时一类非常特殊的优化问题，它在实际中,尤其是在处理一些曲线拟合问题、线性方程组无解时的近似解等问题，用的非常多。最小二乘优化问题的目标函数一般为若干个函数的平方和,即:2。１。５多目标规划问题

2在大多数的优化、中，都将多目标规划的一般形式表述为：其中，、、既可以为线性函数，也可以为非线性函数。三、基本方法对于解决那些常见优化问题,基本思路将在解题的过程中得到体现．我们给出具体一些建模实例来体现基本算法：3.1就下列命令求下面分段函数的极小值点。解：首先编写目标函数的M文件如下：然后为了分析直观，利用ＭTLＡＢ画出目标函数的图像,步骤如下:〉>　ｘ＝—5:0.０１:5;>>ｎ＝leｎgth（x)ｎ　=　　１001

3〉〉　fori=1：１001y(ｉ)=ｅｘａmpｌｅ8_7(x（ｉ)）；eｎd3。2对于下面的线性规划问题:miｎ–x1—3ｘ2s。t。先利用图解法求其最优解，然后利用优化工具箱中的linprog命令求解．解〈图解法〉　先利用MATＬAB画出该线性规划的可行集及目标函数等值线:〉＞ｃｌear>〉sｙmsx1x2>〉ｆ=-x１-３*ｘ2;〉〉ｃ1=x1+ｘ2—６;〉〉c2=—x1+2*x2—8；>>ｅzcontourf（f）〉>axｉs（[060　6]）〉>hoｌd　on>>ｅzpｌot（c1)>>eｚplot（c2)〉>lｅgenｄ（’ｆ等值线’，＇x1+x2－６=0',’—x1+2*x2-８=0'）＞〉ｔitle（’利用图解法求线性规划问题’）〉>gtｅxt（’ｘ')运行结果如下图：

4从上图中可以看出可行集的顶点ｘ(4／3,14/3）即为线性规划的最优解，它也是两个线性约束的交点。3.3求解下面的最小二乘优化问题：其中程序输入及结果＞＞ｃｌｅarA=［1　２１;-２1　３]；b=[1　1]’;C=［０　—1　2；10－１;-3２0］;d＝[１01]'；ｌb=［-5－5—2］＇;ｕｂ=［５　52]';

5Aｅq=［];ｂｅｑ=[];[x,resnorm,residｕal,exitfｌag,ouｔpuｔ,ｌambda］＝lsｑlin(C,d,A,b,Aeｑ,bｅq，ｌb，ub)Warｎiｎg：Lａｒge—ｓcale　methodcａnhandlebｏundconstrainｔsonly;swｉtchiｎg　tomｅdｉum-scalemethod。Ｗarning:Larｇｅ-ｓｃaｌe　mｅthodcanhandle　ｂoｕnd　ｃonstｒａinｔｓonｌy;　usｉｎg　mediｕｍ—scalemethodinｓtｅａｄ。＞　In　lsqliｎat２49Ｏptｉmizationｔerminaｔed。x=　　　　％最优解　-0。4578-０。31３3　0。1３25resnorm＝　　　％残差向量2—范数的平方,即rｅａｎorm=norm(rｅｓidual）^2　　0。59０4reｓiduａl=%残差向量　—0.4217－0.59０4　—0。253０ｅxｉtfｌag＝　1　　%函数收敛到最优解outｐut=　　　　itｅｒatioｎs：4　%迭代4次　alｇoｒｉthm:＇ｍｅdiuｍ－scalｅ:ａctivｅ—set’　　　%调用的积极集算法　firstｏrderｏpｔ：[]cgiterations:[］　　message:'Optimｉzaｔiontermiｎated。'lａmｂｄa=　％Laｇｒａnge　乘子

6　ｌｏwer:［3x1doｕｂle］　upper:［3x1ｄoublｅ]eqｌiｎ：[０x１　double]　ｉneｑliｎ:　［2x１dｏuble]　ineqlin：［2xlｄouble]3。４求下面优化问题的最优解,并求出相应的梯度、Hesｓian矩阵以及Laｇrang乘子。解现将该优化问题转化为下面的标准形式:编写目标函数的Ｍ文件如下:functiony＝eｘampｌe8_９(ｘ）y＝(x（1)-２）^2＋（x(2）-１）^2;fｕnction[ｃ1,ｃ2]＝nｏｎliｎ(x）c1=ｘ（1）^2—x（2）；c2=［]；clearA=[１1];b＝2;Aeｑ=［];beq=[]；ｌb=［];ub=［]；x0=[0　0］’；[ｘ,fval，ｅxitfｌａg,output,lambda，ｇ,H］＝fmｉnｃｏｎ(＠ｅxample8_9，x０，Aeq,ｂｅq,lb,ub,＠nonliｎ）Waｒｎｉng£ºLarｇｅ-scalｅ£¨trusｔ　rｅｇion£©mｅthoｄdoｅsnoｔcurｒentlysolｖetｈistypeｏfpｒｏblｅm£¬ｓwitchｉngtoｍediｕm－scaｌe£¨ｌine　sｅarch£©¡£四、实际应用4.1　Ｖ带轮优化设计提出问题:设计带式输送机传动装置上的普通V带传动,已知电动机额定功率P=４Kw,转速n1=１4４0r/miｎ,传动比ｉ＝3,采用A型Ｖ带,每天工作不超过10小时，设计带根数尽量少,带轮直径和中心距尽量小的方案。

74.1.1　数学模型建立(１）设计变量:V带传动的独立设计变量是小带轮直径和带的基准长度　　　　　即Ｘ=［，=[,(2）目标函数包括三个分目标：　　a.小带轮直径ｍｉｎ(X）==　ｂ．中心距min(X)＝a=+　　　其中,＝/4—(i+1)/8,=(ｉ—１/８　　　ｃ.带的根数min（X）=ｚ=P／(+）(3）约束条件小带轮直径不小于推荐的A型带轮最小直径　即0带速不超过最大带速即小带轮包角大于即中心距大于，即小带轮基准直径在80—１０0ｍm之间,中心距在3２0—4０0mｍ之间,带的根数为１-4.4.１.2编制MATLAB优化设计%　V带传动多目标优化设计Ｐ=４;i=３；n1=１４4０;ＫA=1。1;　　%已知条件ｘ0=[1０0；１２50];　%初始点(小带轮直径,V带基准长度)

8lb=[８0;630］;　％最小带轮直径和Ａ型Ｖ带基准长度　uｂ=[10０；4000];％最大带轮直径和A型Ｖ带基准长度goaｌ＝[7５，28０，2];　%分目标w=[10^-2,40＾—2，1．5^—2］;　%分目标加权系数［xopt,ｆopt]=ｆgoalａttain(＠VDCＤ_3ｍb_ＭB,x０，gｏal，ｗ,［],［],[］,[],lb，ｕb,@VDＣD_3mｂ_YS）ｆuncｔｉonf＝VDＣＤ_3mｂ_ＭＢ（ｘ)P=4;i＝3;KＡ＝1.1;f(１)=x(1）；％f1小带轮基准直径a1＝ｘ（2）/４—pｉ＊x（1)*(ｉ+1)/8;a２＝x(1)^2*(ｉ－1)^2/8;a＝ａ１＋ｓqｒｔ(a1^2—a2);ｆ(２)=a;　　　％f２中心距Ｐ0=0.0２424＊x(1)—１。11287９;　%单根带额定功率DP0=0。１7;　　％功率增量ａlｐha=180－18０*x(1）＊(i—1)／pi/a;%小带轮包角Kalp=alpha/（0.５４963６＊ａlpha+80。3９６11４)；%包角系数KL=０。2063９*x(2)^０。2１1806;　%长度系数f（3）=KＡ＊P/（P０+DＰ0)/Kａｌp/KL；%V带根数fuｎｃｔiｏn[g,ceq]＝VDCD_3mb_YＳ（x)i=3;ｎ1=1440;g(1)＝1０0—x(１）；g（2）=pi*x(1）＊n1/６ｅ４—2５；a1=x（2)/4—pｉ＊ｘ(1)*（ｉ+1)/8；a2=x(1)^2＊(i－１)^2/8；a=a1＋ｓｑｒt(a1^2—a２)；g(3)=１20—１80*(1—x（1)*(i－1）/a/pｉ)；g（4）=0。７＊ｘ(1)*（i+1）-a;ceq=［]；4．１.3运行结果:Optimｉzationterminａｔedsｕｃcｅssfｕllｙ：Searchｄirectionleｓｓthan　２＊oｐｔions。ToｌＸaｎｄ　mａximｕｍcoｎstrａiｎtvioｌａtion　iｓless　thaｎoptions．ＴolConActiｖe　Consｔｒaiｎts:　　5　　９xopｔ　=　　１。0e+003*　　　0．1０00

91。2２６9ｆｏpt＝１0０.0０0０281。52９3　３.59５８表面最优方案为设计带根数为5或9,带轮直径和中心分别为(１。0e+00３，１０0.０0０0)、(０．１000，281。５293)、（１。22６9,３.595８)的方4。2ＭATLAＢ优化设计在机件模型中的应用提出问题：有一圆形等截面的销轴．一端固定在机架上．另一端作用着集中载荷P;50kN和扭矩M=４00Nm,其简化模型如图l所示.由于结构的需要，轴的长度ｌ不得小于10cm，已知锖轴的材料的弯曲应力=12０MPa；扭剪应力=80MPａ;允许挠度f=o.0１cｍ；密度p＝7800kg/m３:弹性模量E＝2.1×１05ＭPａ.现要求设计这根销轴,在满足使用要求下使其质量为最轻．４.２。１建立数学模型:通过分析,我们得知性能约束条件为:1、弯曲强度要求悬臂粱的最大弯曲应力不得超过允许值,即代人数据并整理；2、扭转强度要求悬梁的最大弯曲应力不得超过允许值,即，代人数据并整理；3、刚度要求最大挠度不得超过允许值，代人数据并整理得边界约束条件:　这样就可建立数学模型:二、调用MATLAＢ函数进行优化采用ＭATＬAB可以简化编程.ＮAＴLAB程序语言简单，也可采用交互式界面．本例要MＡTLAB命令窗口输入如下命令即可:funf=’f=０.00613x（１)‘x（2）’;％目标函数funf=’ｇ=[４１．6７’x(２)/x(1）“3一l;I．62+x（2）‘３/x(1)‘4－１；2５／ｘ（1)‘３-1;’];％约束函数fun＝[funfｆurig]；x0=[8，10］；%给出d、I的初始值optiｏnｓ=[];％参数向量取缺省值vｌb=[0，10];％设计变量d，1的下限值ｖub=[］；％设计变量无上限值[X,ｏｐtｉon］-cｏnstr(fun,x0，oｐtions,vcｂ,ｖub);%调用有约束优化函数这时，就会输出优化结果如下:x＝7.469210.000０ｏptiｏnｓ=0０．0０0l0.０0010,0０000　003.4199　0２0.00007.0０００　７.０００002００,００000０.０0000.10001.000表明最优方案为ｄ=7．４692ｃm,1=lOcm，Q＝opｔions(8)=3.14１９９kg．五、参考文献

10六、任务清单6。1本组任务分配清单资料查找胡双母桑妮资料整理朱小英马娟算法统计肖锐张海旭结果处理彭艺朱小英内容编排胡双母桑妮课程设计总结马娟肖锐七、课题研究总结母桑妮:胡双:肖锐：朱小英:马娟：张海旭:彭艺: