2016年四川省高考数学试题及答案(文科)(精编版)

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绝密★启圭寸前15、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.设i为虚数单位，则复数（1+i）2=（1.2016年四川省高考数学试卷（文科）5.C.向上平行移动7TT个单位长度D.向下平行移动个单位长度设p:实数x,y满足x>1且y>1,q:实数x,y满足x+y>2,则p是q的（A.充分不必要条件B.必要不充分条件A.0B.2C.2iD.2+2i设集合A={x|1$韦},Z为整数集，则集合AQZ中兀素的个数是（)A.6B.5C.4D.3抛物线y2=4x的焦点坐标是（)A.(0,2)B.(0,1)C.(2,0)D.(1,0)为了得到函数y=sin（x+^—•J）的图象,只需把函数y=sinx的图象上所有的点（A.向左平行移动r个单位长度B.向右平行移动7V3个单位长度)2.3.4.1515C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知a为函数f（x）=x3-12x的极小值点，贝Va=（C.47.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金151512%，则该公司全年投入的研发130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长（参考数据：Ig1.12=0.05,Ig1.3=0.11,Ig2=0.30)资金开始超过200万元的年份是（)A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年&秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n,x的值分别为3,2，则输出v的值为（）15

19.已知正三角形「|2的最大值是A.ABC内的动点B.ABC的边长为2「；，平面P,M满足|J|=1,1'='-'，则49C.10•设直线11,12分别是函数■'-lux,0＜址＜1(X)=_.图象上点P1,P2处的切线，11与12垂直相交于点P,且11,12分别与y轴相交于点A,B，则△PAB的面积的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+s)D.(1,+s)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.sin750=.15

213.从2,3,8,9中任取两个不同的数子，分别记为a,b,则logab为整数的概率是.x14.若函数f(x)是定义R上的周期为2的奇函数，当OvxV1时，f(x)=4,则f(-+f(2)=15),15.在平面直角坐标系中，当(x,y)不是原点时，定义P的伴随点”当P是原点时，定义伴随点”为它自身，现有下列命题：①若点A的伴随点”是点A',则点A'的伴随点”是点A.②单元圆上的伴随点”还在单位圆上.③若两点关于x轴对称，则他们的伴随点”关于y轴对称④若三点在同一条直线上，则他们的伴随点”一定共线.其中的真命题是.三、解答题(共6小题，满分75分)16.(12分)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照［0,0.5),［0.5,1),…［4,4.5］分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.0.52^*284u_ooo.o.do.3.月均屈水重［吨)(I)求直方图中的a值；(II)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数•说明理由;15

3(川)估计居民月均用水量的中位数.13.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA丄CD,AD//BC,/ADC=/PAB=90°BC=CD=—AD.2(I)在平面PAD内找一点M，使得直线CM//平面PAB，并说明理由；(II)证明：平面PAB丄平面PBD.14.(12分)在厶ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且亠一+_:—亠匚abc(I)证明：sinAsinB=sinC;(n)若b2+c2-a2=—be,求tanB.515.(12分)已知数列｛an｝的首项为1,Sn为数列｛an｝的前n项和，Sn+仁qSn+1，其中q>0,n€N+(I)若a2,a3,a2+a3成等差数列，求数列｛an｝的通项公式；15

4(n)设双曲线x2-*=1的离心率为en,且e2=2，求e12+e22+…+en2.15

513.(13分)已知椭圆E：」_+「=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点(I)求椭圆E的方程；(n)设不过原点0且斜率为丄的直线I与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点2为M，直线0M与椭圆E交于C,D，证明：丨MA|?MB|=|MC|?MD|14.(14分)设函数f(x)=ax2-a-Inx,g(x)丄-旦，其中a€R,e=2.718…为自然对数的底数.(I)讨论f(x)的单调性；(n)证明：当x>1时，g(x)>0；(川)确定a的所有可能取值，使得f(x)>g(x)在区间(1,+〜内恒成立.15

62016年四川省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析10小题，每小题5分，共50分.22=1+i+2i=1-1+2i=2i,一、选择题：本大题共1.【解答】解：（1+i）故选：C.2.［解答】解：•••集合A={x|10韦},Z为整数集，则集合AAZ={1,2,3,4,5}.•••集合AAZ中元素的个数是5.故选：B.23.【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标是（1,0）,故选：D4.【解答】解：由已知中平移前函数解析式为y=sinx，平移后函数解析式为：y=sin（x+）,可得平移量为向左平行移动一个单位长度，3故选：A5.【解答】解：由x>1且y>1，可得：x+y>2,反之不成立：例如取x=3,y=-；•p是q的充分不必要条件.故选：A.6.［解答】解：f'(x)=3x2-12;•xv—2时，f'(x)>0,-2vxv2时，f'(x)v0,x>2时，f'(x)>0;•x=2是f(x)的极小值点；又a为f(x)的极小值点；•a=2.故选D.—Ic7.【解答】解：设第n年开始超过200万元，则130X（1+12%）>200,化为：（n-2015）Ig1.12>Ig2—Ig1.3,n-2015>"丫”f=3.8.取n=2019.因此开始超过200万元的年份是2019年.故选：B.&【解答】解：•••输入的x=2,n=3,故v=1,i=2，满足进行循环的条件，v=4,i=1,满足进行循环的条件，v=9,i=0,满足进行循环的条件，v=18,i=-1不满足进行循环的条件，15

7故输出的v值为：故选：C15

89.【解答】解：如图所示，建立直角坐标系.B(0,0),並,o),A(逅d3).TM满足||：|=1,二点P的轨迹方程为：〕工--■t:'=1,令x=^^|+cosQy=3+sin00€[0,2n).又「=忙，则M丄.二::•••1呵=丄—「一厂sin&】，-：-+3sinin.—的最大值是-.410.【解答】解：设P1(xi,yi),P2(x2,y2)(OvxK1vx2),当Ovxv1时，f'(x)=一丄，当x>1时,•11的斜率二—丄，12的斜率k^=-^,1K12x2f(x)Tl1与12垂直，且x2>x1>0,即X1X2=1.直线l1：12：取x=0分别得到A(0,1-Inx1),B(0,y=—(x_xJfinx—1+Inx2),|AB|=|1—Inx1—(—1+Inx2)|=|2—(InX1+Inx2)|=|2—InX1X2|=2.lhcs1肌宀22滋肝JAB|?XP|E^r严JSj4z联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=•••函数y=x+—在(0,1)上为减函数，且OvX1v1,15

9则•••△PAB的面积的取值范围是(0,1).故选：A.、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.sin750=sin(2>360°30°=sin3011.【解答】解故答案为：JL.212.【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，底面为俯视图三角形，底面积S丄天2妬崔1=(E，棱锥的高为h=1，•棱锥的体积V=gsh丄.故答案为：丄_.13.【解答】解：从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a,b,基本事件总数n=包;=12,logab为整数满足的基本事件个数为(2,8),(3,9),共2个，•log却为整数的概率卩=亠二丄.126故答案为：丄.614.【解答】解：T函数f(x)是定义R上的周期为2的奇函数，当0VXV1时，f(x)=4x,•f(2)=f(0)=0,f(-〒)=f(-T-+2)=f(-则f(-+f(2)=-2+0=-2,故答案为：-2.15.【解答】解：①设A(0,1)，则A的伴随点”为A'(1,0),而A(1,0)的伴随点"为(0,-1),不是A，故①错误，②若点在单位圆上，则X2+y2=1,即P(x,y)不是原点时，定义P的伴随点"为P(y,-x),满足y2+(-x)2=1，即P也在单位圆上，故②正确，③若两点关于x轴对称，设P(x,y),对称点为Q(x,-y),则Q(x,-y)的伴随点”为Q(匚一,\),15

10则Q'(-yx2+y2)与P'(）关于y轴对称，故③正确,④•••(-1,1),(0,1),(1,1)三点在直线y=1上，1•••（-1,1）的伴随点”为（1+1）,即寺丄）,的伴随点"为（1，0），（1，1的伴随点"为（1+11+1），1511~2则（）,（1,0），寺）三点不在同一直线上，故④错误,15故答案为：②③三、解答题（共6小题，满分75分）11.【解答】解：（I）v1=（0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）>0.5,整理可得：2=1.4+2a,•解得：a=0.3.（II）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）>0.5=0.12,又样本容量=30万，则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30X0.12=3.6万.（川）根据频率分布直方图，得；0.08X.5+0.160.5+0.300.5+0.4205=0.48V0.5,0.48+0.50.52=0.74>0.5,•中位数应在（2,2.5］组内，设出未知数x,令0.08X.5+0.16X.5+0.30X.5+0.42X.5+0.520=0.5,解得x=0.038;•••中位数是2+0.06=2.038.12.【解答】证明：（I）M为PD的中点，直线CM//平面PAB.取AD的中点E,连接CM,ME,CE,贝UME//PA,•/ME?平面PAB,PA?平面PAB,•ME//平面PAB.•/AD//BC,BC=AE,•ABCE是平行四边形，•CE//AB.•/CE?平面PAB,AB?平面PAB,•CE//平面PAB.•/ME^CE=E，•平面CME//平面PAB,•/CM?平面CME,•CM//平面PAB;（II）TPA丄CD，/PAB=90,AB与CD相交，•PA丄平面ABCD,•/BD?平面ABCD,•PA丄BD,由(I)及BC=CD^-AD，可得/BAD=/BDA=45,•••/ABD=90,•BD丄AB,vPAHAB=A,•BD丄平面PAB,•/BD?平面PBD，•平面PAB丄平面PBD.15

1118.【解答】(I)证明：在△ABC中,cosA+cosBsinCabccosAcosBsinCsinAsinBsinC■/sin(A+B)=sinC.•整理可得：sinAsinB=sinC,•••由正弦定理得:•cosAsinB+casBsinAsin(A+B)sinAsinBsinAsinB=1,sinA=tanB=4.cosA,cosBsinAsinB=—be，由余弦定理可得53cosA=—.5IsinC=1,亠sinB19•【解答】解：(I)根据题意，数列｛an｝的首项为1,即a1=1,又由Sn+1=qSn+1，贝US2=qa1+1，贝Ua2=q,又有S3=qS2+1，则有若a2,a3,a2+a3成等差数列，即2a3=a2+(a2+a3),则可得q=2q解可得q=2，则有Sn+1=2Sn+1，①进而有Sn=2Sn-1+1，②①-②可得an=2an-1,则数列｛an｝是以1为首项，公比为2的等比数列，则an=1X2=2；(n)根据题意，有Sn+1=qSn+1，③③—④可得：an=qan—1,又由q>0,则数列｛an｝是以1为首项，公比为若e2=2，则a3=q2,(q>0),同理可得Sn=qSn-1+1,q的等比数列，贝Uan=1Xqne2=i•...一=2,解可得a2=；；,则a2=q=二即卩q=,an=1xqn1=qn则en2=1+an2=1+3n1,1=(「；)n-1,故ei2+e22+…+en2=n+(1+3+32+…+3n1)=n+20.【解答】(I)解：如图，由题意可得•椭圆E的方程为£+异二1；(n)证明：设AB所在直线方程为联立，得x2+2mx+2m21n=q1；a=2b召丄22'a4by=*x+it,2=0.22，解得a=4,b=1,=4m2—4(2m2-2)=8-4m2>0,即11':.15

12设A(xi,yl),B(x2,y2),M(xO,y0),•wc1.rr”••xo=-m,--，即M（—g弓）,15•••IMA|?MB|=|MC|?MD|.151512ax2-1XX(x>0),+8）上的减函数;21.【解答】(I)解：由f(x)=ax-a-Inx,得f'(x)=2ax当aO时，f'(x)v0在(0,+8)成立，贝yf(x)%(0,15当a>0时，由f'(x)=0,得x=+V2a15g)时，f'(x)>0,,+8）上为增函数;•••当x€（0,I#）时，f'（x）v0，当x€2a~2a"则f（x）在（0，二li）上为减函数，在（2a15

13减函数，在(2a，+旳上为增函数;(n)证明：要证g(x)>0(x>1)，即>0,也就是证—-?,令h(x)—，则h'(x)(x)在(0,)上为综上，当aO时，f(x)为(0,+x>)上的减函数，当a>0时,15h(x)在(1,+〜上单调递增，则h(x)min=h(1)=e,即当x>1时，h(x)>e,.当x>1时，g(x)>0;(川)解：由f(x)>g(x),得-a.-Inis—丄十J養〉0,x设t(x)=且*2_包_［口虫_丄十㊁iK,x由题意知，t(x)>0在(1,+x)内恒成立，•••t(1)=0,•••有t'(x)=2ax-丄-J*=2dK洛——J*初在(1,内恒成立,令$(x)=J-,…，19|—x-21-J则$(x)=2a_-—十上=2邑"已,xzx°x当x丝时，$'(X)>0,x-2-2汎+6令h(x)=——,h'(x)=——-—，函数在［1,2)上单调递增，HX•h(x)min=h(1)=-1.又2a》,e1x>0,•1vxv2,$'(x)>0,综上所述，x>1,$'(x)>0,$(x)在区间(1,+旳单调递增,•t'(x)>t'(1)为，即t(x)在区间(1,+x)单调递增，•-aN—.15

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