《函数的概念（一）》示范课教学设计【高中数学人教】

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环节一函数的概念（一）【引入新课】问题1在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具.例如，正方形的周长l与边长x的对应关系是l＝4x.（1）l是x的函数吗？（2）这个函数与正比例函数y＝4x是同一个函数吗？答案：问题（1）的答案是肯定的．问题（2）的争议较大，答案悬而未决．要解决这个问题，就需要进一步学习函数概念.（板书：函数的概念）追问针对一个概念要研究哪些内容？答案：实际问题——下定义——表示——应用．【新知探究】问题2阅读材料，回答问题：某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时.这段时间内，列车行进的路程S（单位：h）的关系可以表示为S＝350t.（1）S＝350t是函数吗？为什么？（2）有人说：“根据对应关系S＝350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进了350km.”你认为这个说法正确吗？答案：（1）因为t和S是两个变量，而且对于t的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，所以S是t的函数；（2）意见不统一.追问1能否根据现有条件回答“24h时对应的距离是多少？”为什么？答案：不能，因为半小时之后列车的运行状况未知.追问2这个说法犯了什么错误？答案：忽略了时间t的变化范围.追问3你认为如何描述才能准确反映实际问题？

1答案：在S＝350t的基础上，给时间t备注上范围.具体如下：列车行进的路程S与运行时间t的对应关系是S＝350t．①其中，t的变化范围是数集A1＝{t|0≤t≤0.5}，S的变化范围是数集B1＝{S|0≤S≤175}.对于数集A1中的任一时刻t，按照对应关系①，在数集B1中都有唯一确定的路程S和它对应.问题3阅读材料，回答问题：某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资.（1）你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d的函数吗？（2）问题2与问题3中函数有相同的对应关系，它们是同一个函数吗？为什么？（3）请同学们模仿问题2给出的精确描述，准确地反映实际问题.答案：（1）w＝350d，w是工作天数d的函数.（2）不是同一个函数.因为在函数S＝350t中，0≤t≤0.5；在函数w＝350d中，d∈{1，2，3，4，5，6}，虽然两个函数的对应关系相同，但是自变量的取值范围不同.（3）工资w与一周工作天数d的对应关系：w＝350d．②其中，d的变化范围是数集A2＝{1，2，3，4，5，6}，w的变化范围是数集B2＝{350，700，1050，1400，1750，2100}.对于数集A2中的任一个工作天数d，按照对应关系②，在数集B2中都有唯一确定的工资w与它对应.问题4阅读材料，回答问题：

2图1图1是北京2016年11月23日空气质量指数（AirQualityIndex，简称AQI）变化图.（1）I是t的函数吗？为什么？（2）模仿前两个问题，用精确的集合语言和对应关系描述这个实际问题.追问1通过图形能确定唯一的I与之对应，怎么找？答案：在横轴上，过t0作垂线交曲线与点（t0，I0），I0就是与t0对应的值.追问2从所给的图中确定11月24日12：00的AQI的值吗？为什么？答案：不能，因为时间不在图象覆盖的范围内.所以，从图1中的曲线可知，t的变化范围是数集A3＝{t|0≤t≤24}，AQI的值都在数集B3＝{I|0＜I＜150}.对于数集A3中的任一时刻t，按照图1中曲线所给的对应关系，在数集B3中都有唯一确定的AQI的值I与之对应.因此，这里的I是t的函数.表1我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况问题5阅读材料，回答问题：

3国际上常用恩格尔系数r（r＝）反应一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.表1是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高.（1）你认为按表1给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？为什么？（2）如果是，这个函数有解析式吗？如何描述这个函数？答案：（1）r是y的函数.因为对于2006到2015年中任一个年份y，根据表1，都有唯一确定的恩格尔系数r与之对应.（2）这个函数没有解析式.从表格1可知，y的取值范围是数集A4＝{2006，2007，2008，2009，2010，2011，2012，2013，2014，2015}，恩格尔系数r的取值范围是数集B4＝{r|0＜r≤1}.对于数集A4中的任一个年份y，根据表1所给的对应关系，在数集B4中都有唯一确定的恩格尔系数r与之对应.问题6上述问题4~问题6中的函数有哪些共同特征？由此你能抽象出函数概念的本质特征吗？答案：上述问题的共同特征有：（1）都包含两个非空数集，用A，B来表示；（2）都有一个对应关系；（3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.函数的定义域，对应关系和值域也叫函数的三要素.

4追问值域和集合B相等吗？它们的关系是什么？答案：以问题5为例，值域是B5＝{28.57，29.35，29.89，33.87，33.53，35.15，35.69，38.17，36.81，36.69}，显然B5B4．可见，值域与集合B不一定相等，值域是集合B的子集．问题7你能用新的定义描述一次函数y＝ax＋b（a≠0）、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）和反比例函数y＝（k≠0）吗？从哪些角度描述？答案：函数一次函数二次函数反比例函数a＞0a＜0对应关系y＝ax＋b（a≠0）y＝ax2＋bx＋c（a≠0）y＝（k≠0）定义域RR{x|x≠0}值域R{y|y≥}{y|y≤}{y|y≠0}【知识应用】例函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律.例如，正比例函数y＝kx（k≠0）可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等．试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y＝x（10－x）来描述.答案：把y＝x（10－x）看成二次函数，那么它的定义域是R，值域是B＝{y|y≤25}.对应关系f把R中的任意一个数x，对应到B中唯一的数x（10－x）．如果对x的取值范围作出限制，例如x∈{x|0＜x＜10}，那么可以构建如下情境：

5长方形的周长为20，设其一边长为x，面积为y，那么y＝x（10－x）.其中，x的取值范围是A＝{x|0＜x＜10}，y的取值范围是B＝{y|0＜y≤25}.对应关系f把每一个长方形的周长x，对应到唯一确定的面积x（10－x）.【归纳总结】问题8本节课我们主要学习了函数的概念，为什么要重新学习函数的概念？用“集合—对应说”下的函数概念分析一个函数要关注哪几个要素？这些要素的特点是什么？与初中的函数概念相比，要特别注意哪个要素？按照问题2的答案，下一课时该研究什么内容？答案：初中所学的函数概念主要关注的是变量之间的依赖关系，对自变量的变化范围缺乏约束，在应用中容易产生误判.采用“集合—对应说”之后，同时关注函数的定义域、对应关系和值域.其中对应关系是核心，有如下特征：对于定义域中任意实数在值域中都能找到唯一的实数与之对应.但对应关系的形式多样，除了解析式，还可以是图象，表格，文字语言等.与初中的函数概念相比，要特别注意定义域必须符合题目要求.下一课时应该研究函数的表示．