新高考1卷模拟卷十五备战2022年高考数学模拟卷（新高考专用

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绝密＊启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试新高考I卷数学模拟卷十五学校姓名：班级：考号：题号1-I二I三1四I总分得分注意：本试卷包含I、II两卷。第I卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第II卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。第1卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。l已知集合A={xly=log2(x-2)},U={xix>1}，则CuA=()A.[1,2]B.(1,2)C.(1,2]D.[1,2)【答案】C【解析】【分析】本题考查几何补栠运算，属丁简单题．由对数陌数的定义域求得揉合A,再由补织的概念求解．【解答】解：A={xly=log2(x-2)}={xix>2},U={xix>1},所以CuA=(1,2].故选：C.2已知a,bER,p:a2+b2~2,q:ab~l,则p是q的（)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】

1本题考查必婓条件、充分条件、充婓条件的判断，基本小等式，属基础题．根据重要不等式，结合充分条件和必要条件的定义，进行判断即可得到结论．【解答】解：若ab2:'.1，则a2+b22:'.2ab2:'.2，当目仅当a=b时等号成立，所以必要性成立；若a=1,b=－1，即a2+b22:'.2成欢，但ab=-1,即ab2:'.1不成守，所以允分性不成、斗．所以p是q的必要不充分条件．故选B.3函数Y=f(x)在点A(1,f(1)）处的切线方程是y=2x-1,则/(1)+/'(1)=()A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】本题考查导数的几何意义，属丁基础题．先求f'（1)=2,f(1)=1，即可解决【解答】解：函数y=f(x)在点A(l,f(l)）处的切线方程是y=2x-1,则/'(1)=2,因为f(1)=2-1=1,贝~/(1)+/'(1)=2+1=3.故选B.4.小明参加某项测试，该测试一共3道试题，每道试题做对得5分，做错得0分，没有中间分，若小明答对第1,2题的概率都是i，答对第3题的概率是L，则小明答完这3道题的得分期望为（)c20A.25B.65.一253D.12123【答案】C【解析】［分析】本题考查离散型随机变址的期望与方差，屈于中档题．根据题意设X为做对题目的分数，易知X可能为0,5,10,15,分别求出概率即可求出期望．

2【解答】解：根据题总设X为做对题目的分数，易知X可能为0,5,10,15,则21P(X=0)=Grx(1分）=:'P(X=5)=ClGfx(1-½)+（扩叶＝令P(X=10)=(i)2x(1-9+Ci(i)2x;＝主P(X=15)=G/xi=上，2/312则小明答完这3道题的得分期望为：E(X)=5X[0X¼+1X-h+2X~+3X上］＝望6123123故选C.1111111115.数列l，一，一，一，一，一，一，一，一，一，…的第2021项为（)2223333341111A.B.C．一D.4445462025【答案】B【解析】【分析】本题主要考查数列中的找规往，求解或判断数列中的项，屈千基础题．通过观察发现相同的数字出现成等差数列，然后按照数列求和，找到2021在1936到2025之间，从而确定出2021项的具体取值．［解答】解：由题H知，有1个1,3个~'5八i，观察出相同的数出现的个数规成等差数列，n(1+2n-1)1+3+5+…+(2n-1)==n气442=1936,452=2025,因为2021在1936到2025之间，所以第2021项为为上．45故选B.6.阿基米德（公元前287年－公元前212年），百科式科学家、数学家，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我就能撬起整个地球．“阿基米德在做数学研究时，有一个有趣的问题：一个边长为2的正方行内部挖了一个内切圆，现以过该内切圆的圆心且平行千正方形的一边的直线为轴旋转一周形成几何体，则该旋转体的体积为（)A巴.2亢4兀3B.C.亢D.33

3【答案】B【解析】【分析】本题考查旋轧体的结构特征及圆柱与球的体积公式，屈千基础题．根据题意可知旋转体为圆柱去掉一个内切球，根据圆柱与球的体积公式计算即可，【解答】解：根据题意司得，该旋转体为一个圆杆去掉一个内切球，所以该旋转体的体积：V=兀X12X2－趴勺rX13＝乌兀33故选：B.7.已知CD若X>0,y>0,则占三＄予-+-Xy＠若a>0,b>0,c>0,d>0,则（a2+b2)(c2+d勹~(ac+bd)气12＠若X>O,y>o,且—+—=1，则3x+y的最小值为2+2'17..x+l2x+y、丿上面不等式中正确的个数为（A.OB.lC.2D.3【答案】C【解析】【分析】本题考查利川基本刁、等式求最伯，利厅基本个等式证明小等式，属千中档题．O利用基本不等式进行求解即可；＠采用作差法即可求解；＠将3x+y整押成(x+1)+(Zx+y)-L再利用“乘l法”求解．【解答】解：对千CD,若x>0,y>0,则产＝竺2三竺工＝J芍当H仅当x=y时等号成立，故古x+y-2苟＠正确；对千＠，（ac+bd)2-(a2+b勺(c2＋护）=2abcd-b2c2-a2妒＝－（be-ad)2::;O,故(a2+b勹(c2+妒）2'.(ac+bd)气即＠不成立；对千＠，3x+y=(x+1)+(2x+y)-L1因为x>0,y>O,且—－+2—=1,x+l2x+y所以3x+y=(x+1)+(2x+y)-1

412=[(x+1)+(2x+y)](—+)-1X+1.2X+y2x+y.2(x+1)=2+_____.::_+X+1.2x+y2x+y..2孟2::2+2/—x—=2+2迈，x+l2x+y当且仅当竺立＝坐立，即x＝迈，y=2－我时等号成寸，故＠正确．x+l2x+y综I::.:CD和＠汗确．故选C.8已知函数f'(x)为函数f(x)的导函数，满足tanx·f'(x)>f(x),a＝拓f笱），b＝{°if（与，c＝迈f（匀，则下面大小关系正确的是（)A.aO,函数g(x)单调递增，再判断a、b、c的大小．【解答】f(x)解：根据题意，令9(x)＝,XE(0，乌，sinx2fi(x)sinx-f(x)cosx则其导数g'(x)=,sin2x由千xE(0卒），则cosx>O,故tanx·f'(x)>f(x),即SIncxofs尸－f(x)>0,即恒有f'(x)sinx-f(x)cosx>0,所以g'(x)>O,所以函数的）在(0,：）上单调递增，亢亢亢亢义0<-<-<-<-,6432所以或）＜g(~)＜成），即竺长空＜竺，sm-sin-sin-643飞）＜言f(;)分t笱），所以花f笱）＜汽t吁）＜迈f(i)'

5即aO,所以一l

6所以将函数y=3sin(Zx＋工）的图象向片平移工变换为珀数y=3cos(Zx+王）的图象故选：A.11.已知抛物线C:x2=8y的焦点为F,直线y=kx+2与抛物线C交千M,N两点，满足材了＝A丙J,IMNI=9,则A的取值可以为（)A.½B.;C.2D.3【答案】BC【解析】【分析】木题考查［抛物线的性原及几何意义，以及直线与抛物线的位置关系，屈丁中档题．联立直线和抛物线结合IMNI=9,从而得到且线AB的斜率，然后即可求出MF和FN,进而求出结果【解答】解：根据题意，F(0,2)，设M(x1,Y1),N(xz,Yz),2=8y联立直线和抛物线{x，整理为x2-8kx-16=0,y=kx+2则x1+x2=8k,x西＝－16,所以IMNI=K"+fZ·✓伈＋x主－4x凸＝五+k2·寸64炉＋64=8(1+炉）=9,寸所以炉＝－，所以k=士一，8迈当k＝一时，联立宜线和抛物线，1所以入=解得MF=3,FN=6,又因为W＝让可，一,2或MF=6,FN=3,入＝2,迈当k=－一时结果同上．4故选：BC.12.已知点0是LlABC的外心，AB=4,AC=6,丽＝x商＋y宽，则下列正确的是（)316亢A.若cosA=一，则LlABC的外接圆面积为—-47B.若BC=2-../7，则3y-Zx=1sC.若A=巴，则2x+3y=-32D当X=~,y=：时，I厮＝辛【答案】BD【解析】

7【分析】本题考查余弦定理，平面向杂的数忙积运算，三角形的外心性质，屈千较难题．l11-－立1-Zx3-6y根据外心性质可得AO.AB=-AB，从而得出cosA=~——=——，再逐一分析各选项即可．23y4x【解答】解：由题总，根据外心的性质，可得0在线段AB上的投影为AB的中点，所以丽商＝扫矿，又而＝x蒜＋y冠所以扫百2=X矿＋y菇冗1一2同理可得－AC-=y一AC2+xAB一一·AC,2l-2x3-6y又AB=4,AC=6,所以cosA=—=—*,()3y4X3对丁．A,二业3COSfl.A=-,4山余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA=16+36-2x4x6x!=16,4即BC=4,BC48则1:,.ABC的外接圆半径为：R==二2X三＝芍＇面积为：S＝冗X（青）2＝罕，故A钻误；对于B,若BC=2罚，AB2+AC2-BC21由余弦定理得cosA==-,2AB·AC2由（＊）可得上竺＝兰竺＝i,3y4X2所以4x+3y=2,2x+6y=3,两式相减得3y-2x=1,故B正确当=亢A－对十C,3,1-2x3-6y1由(*)可得cosA=——=——=-,3y4X2解得『飞，y=95则2x+3y=-,故C错误；3当1x=一1对千D,6,y=切时，由（＊）可得cosA=-,92则闷旰＝点x闷旰＋芍x闭厅＋2X长今（闷趴x闷引x½=~则厮＝寻I,故D正确；故选：BD.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知向虽召＝(3,2),5=（2,m)，若两个向黛共线，则m=_.

84（答案】－3【解析】【分析】本题考查了向显共线的条件，向昼的坐标运算，屈千基础题．利用向址）U线可得3Xm=2X2,进而鍔出结果．【解答】解：邓叶商＝（3,2),E=c2,m)，是共线向岳，:.3Xm=2X2,4..m=-.34故答案为－．3x214.过点(2,./3，岳）且渐近线与双曲线C:沪－—＝1的渐近线相同的双曲线方程为2..2［答案】王＿~=163【解析】【分析】本题主要考查双曲线的标准方程问题，屈千基础题．通过相同渐近线这个条件可以设双曲线方程为y2＿立＝入，然后代入点(2../3,✓句，解出入即2可求出最后的结果．［解答】x2解：由题意可知，可设双曲线为沪－—＝入，2把点(2../3,../3)代入方程，得3-6＝入，解得入＝－3,22故所求的双曲线的方程是王＿兰＝1,63x2沪故答案为：---=1.6315.若多项式x5+(x+2)6=a。+a1(X+1)+…+a6(x+1)6,则a。＋a2+a4+a6=_;a。+a3=_.【答案】1630【解析】【分析】

9本题主要考查二项式定理的应川，注意根据题意分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，屈千中档题．在所给的等式中，令X=0,X=-2,可得a。+a2+a4+a6,令X=-1可得a。，根据展开式求出a3,即可得结果．【解答】解：在所给的等式炉＋(X+2)6=a。+a1(x+l)＋…＋a6(x+1)6中，令x=O可得：a。＋a1+a2+a3+a4+a5+a6=26=64,令X=-2可得：a。－a1+a2-a3+a4-a5+a6=(-2)5=-32,两式相加可得：2(a。+a2+a4+a6)=32,即a。＋a2+a4+a6=16,令x=－1，得a。＝-1+1=0,因为奸＋(x+2)6=[-1+(1+x)]5+[1+(1+x)］气故a3=岱（－1)2+CJ=30,所以a。+a3=30.故答案为16;30.16.已知四边形ABCD中，LBAD=90o,BD=BC=CD=6,LlABD沿BD折起，使得二面角A—BD—C为120o,则此空间四边形外接球的表面积为.【答案】52亢【解析】【分析】本题考查了棱锥的外接球，一面角等知识，屈于中档题．取BD中点E，三角形BCD中心0'，利用球的截面性质确定球心0的位詈，分析得LOEO'=30o,计算可得OE,由勾股定理可得外接球半径R,从而计笃得出球的表面积．【解答】解：如图，设三角形ABD沿BD翻转到三角形PBD的位贾，、、。、、^A过球心0分别作00'.1平面BCD,设BD的中点为E,则E为RtL1PBD外按圆的圆心，所以OE.1平面PBD,·.-BC=BD=CD=6

10:.LIBCD是等边三角形，易知O'为等边三角形BCD的中心，O'E..LBD,．．．一面角A-BD-C为120o,:.LOEO'=LPEC-LPEO=120o-90o=30o,·:BE=3,．．．由中心的性质用得EO'＝'13,:.EO=2,·:PE=BE=3,．．．外接球半径R=寸沪＋32＝打了，．．．三棱锥P-BCD的外接球的表面积为S=4兀XR2=52兀故答案为：52兀四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.已知数列{%}的前n项和为S九，满足Sn=2an-1,数列{bn}满足bn+hn+2=Zhn+l'且b3=5,b7=13.(1)求数列{a心{bn}的通项公式；(2)求数列臼｝的前n项和Tn.【答案】解：(1)'7n=1时，a1=51=2a1-1,则al=1,当n兰2时，an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1)=2an-2an-1，则an=2a正1'故{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，故an=2n-1.因为bn+2+bn=2bn+1'所以｛如｝为等差数列因为b3=5,b7=13,所以公差d=止E=2,7-3故bn=5+2(n-3)=2n-l;n-1b1气＝（2n-1)x(z),。12n-11前n项和T~n=1xGrG)v+3xGGr+5x份＋…＋（2n-1)x(;),江＝1x½+3xGf+5x（扩＋…＋（2n-1)X（忙23n-1n11111相减可得：-2Tn=1+2[;+(2)+(2)+··+(2)]-(2n-1)(2),½[1-G)勹=1+2x~-(2n-1)·（汇1一一2化简可得Tn=6-(2n+3)·G)正1.【解析】本题考查等差数列与等比数列的定义、通项公式，数列的求和方法，错位柜减法，屈十中档题．(1)运用数列的递推式，n=l时，al=S1'n~2时，an=Sn-Sn-1'可得a九再山等差数列的通项公式可得bn;

11（如~=c2n-1).Gr-1，再山错位相减法求（芒｝的前n项和结合等比数列的求和公式，可得Tn18.某教育粲团向社会招聘一些管理型教师，现对应聘者所考虑的主要因素进行调查，所得统计结果如下表所示：男性女性薪资1016职位104(1)是否有95％的把握认为应聘者关千工作的首要考虑因素与性别有关；(2)应聘需要通过两轮刹试，才能成功应聘．第一轮测试有三道试题，答对两道以上视为通过；第二轮测试共有两道试题，全部答对视为通过．应聘者小张在第一轮中每道试题答对的概率为i,在第二轮中每道试题答对的概率为~'求小张通过应聘的概率．n(ad-bc)2参考公式：X2=，其中n=a+b+c+d.(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)参考数据：P(x2之k)0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828【答案】解：(1)2X2列联表如下：男性女性总计薪资101626职位10414总计20201040(1Ox4-16X10)2·..x2=""3.956>3.841,26X14X20X20··有95％的把握认为应聘者关千工作的酋要考虑因素与性别有关．(2)第一轮测试有三道试题，恰好答对两道的概率为Cf·(;)2.(1气）＝丘33第轮测试有三道试题，都答对的概率为cf．七）=26427.2727第一轮测试有三迫试题，答对两道以上视为通过，通过的概率为一十一＝－64I64-32'第二轮测试共有两道试题，全部答对的概率为－X-＝－，22427127所以小组通过两轮测试，通过应聘的概率为一X-=－-324128

12【解析】本题主婓考查了相互独立韦件同时发生的概率，与独立性检验，屈千中杻题．(1)根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解；(2)分别计算第一轮，第二轮通过的概率，再相乘即可19.已知在锐角LlABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且长坛sinB+bcosA-2b=0.(1)求角A;(2)若a=2./3，求b-c的取值范围．【答案】解：因为~asinB+bcosA-2b=O,所以由正弦定押可得{知nA引nB十引nBco胡一2引nB=O,因为O

1320.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，点E为AC与BD的交点，其中AD//BC,1AD=-BC=2,CD=顷，PB=PC=4,PE=Z迈．2PA句“11``h11,IIIOIIII``,I'\`III'I二`\｀、I'I'＇，过'\A、，入D之_太－•-•-q-----夕一、、、尸一夕一－E｀、｀、,_一、、,夕－夕、、t二_B-}•`1-c(1)证明：平面PAC.L平面PBD;(2)求二面角B-PD-C的余弦值．【答案】解：（1）如图，在平面ABCD中，过A作AH.LBC于II'ADBcH因为ABCI)为等腰梯形，AB=CD＝五万，而AD=2,BC=4,从而BH=~(BC-AD)=1,HC=BC-BH=3,在直角三角形ABH中，AH=fri丽:~=3,从而在直角三角形AIIC中，AC=欢沪＋32=3奻；，而在梯形ABCD中，AD//BC,AEAD从而L1AED-L1CEB⇒-＝—⇒AE＝勺ECli'CBC22从而EC=~·AC=2'1z,3义PE=z,.fz,PC=4,从而PE2+EC2=PC气所以PEl.EC在梯形ABCD中，EC=EB=2寸，BC=4,从而BC2=EC2+BE2,所以BEl.EC,义因为PEnEB=E,PE,BEc面PBD,所以ECl.平面PBD,又因为ECC面PAC,所以面PAC上面PBD;(2)由(1)知，PE1-EC，同理可证，PE1-BE,

14又BE.lEC,从而PE,EC,BE两两垂直，如图建立空间直角坐标系，/I』__/'-乏cB--E--Xy由题总，8(2迈，0,0),P(0,0,2迈），D（－立0,0),C(0,2花，0),面PBD即为xEz平面，从而其法向昂）河＝(0,1,0),从而丙＝（－迈，0,-2拉），阿＝（0,2立－2拉），设面PDC法向晕币＝（x,y,z)，从而｛而丙＝0丽阿＝o'可得而PDC的一个法向篮币＝(2,-1,-1),一1J从而山cos＜币，冗＞＝－－＝－一，1·#6而二面角B-PD-C为锐二面角，从而其余弦值为`一．【解析】本题考查线面面垂直的判定，二面角计算，屈千中档题．(1)在平面伤形ABCD中，利用等腰梯形的性质，求出EC,BE，再利用勾股定押，证明PE.lEC,BE.lEC,进而得到EC.l面PBD,最后巾面面堆直的判定定理，得到平面PAC.l平面PBD;(2)由(1)的结论，证明PE,EB,EC两两垂直，进而建立空间直角坐标系，利用法向泣夹角求出二面角B-PD-C的余弦值．21.已知椭圆M:~屯＝l(a>O,b>0)，右焦点为F,与直线y＝早相交千P、Q两点，若椭圆经过点（0，乔），且PF上QF.(1)求椭圆M的方程；(2)将椭圆M绕原点逆时针旋转900得到椭圆Q,在椭圆Q上存在A,B,C三点，且坐标原点为t:,.ABC的重心，求t:,.ABC的面积．【答案】解：（1）设F(c,0),P(t一），则Q(-t一）＼厅＇,/7)'t23．．．一＋-=1,.-.t2=~a2···CDa277

1533·:PF.LQF,．．，立一.~=-1,t-c-t-c：，产－t2=-~···@49由0＠可得：C2--a2=--.77又·:b=范，．．．a2-c2=3,:.a2=4,X2··椭圆M的方程为一十~=1.43(2)设点A(x1,Y1)、B(x2,Y2)-X2依题意知，椭圆Q的标准方程为一十r::.=1.34＠当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m,将百线l的方程与椭圆Q的方程联立得：｛4x2+3沪＝12,y=kx+m消去y得：（3炉＋4)x2+6kmx+3m2-12=0,6km3m2-12由韦达定理得：x1+Xz=-4+3k2,X1X2=4+3k2,故Y1+Yz=(kx1+m)+(kx2+m)=k(x1五）＋2m＝丑玉·:0为b.ABC的重心，．．．贡＝－（互1＋沉句＝（上竺＿＿立巴－）,4+3k2'4+3k26km28m2·:点C在椭圆Q上，:.(~+(－了7)=1,34:.4m2=3炉＋4,-6km23m2-124✓元:.1Afi1=K+k2()2-4.＝寸9炉＋12-3m气4+3k2'.4+3k24+3k2lk恙＋m－（一击）I_13ml点C到直线AB的距离：d==.顽顽1|6m|9...s=－闷B|d＝．J9炉＋12-3m2=-24+3炉2＠当直线AB与x轴垂直时，闷和＝3,d=3,S!:.ABC=f9综上，1:,.ABC的面积为－．2【解析】本题考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，椭圆中的三角形的面积综合问题，屈千难题x2沪(1)设F(c,0),P(t-），则Q(-t一），由于点Q在椭圆M上，代入点Q的坐标到一十一＝1中，＼厅'J7a2b2即可得t2=：正根据PF.1QF,得c2-t2=—:，结合b＝召，即可求椭圆M的标准方程．(2)设点A(x1，见）、B(x2，为），可根据直线AB的斜率存在和不存在进行分类讨论．CD当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m,将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去y,由韦达定理，即可得出X1与x2之间的关系式．因为0为1',.ABC的重心，可得75c=－（互＋页句，由此可得点C的坐标，再将点C的坐标代入椭圆Q的标准方程可

16得出k与m之间的关系式．根据弦长公式求出AB的长，利们点到直线的距离公式求出点C到直线AB的距离，再利用＝角形面积公式即可求出St,.ABC=-.＠当直线AB与x轴垂直时，闷趴＝3,d=3,St,.ABC=~-22.设函数f(x)=emx+x2-mx+t在(O,f(O)）处的切线经过点(1,1)(1)求t的值，并且讨论函数f(x)的单调区间；(2)当m=1时，xE(0,+oo)时，不等式f(Zx)-f(-2x)>4b[f(x)-f(-x)］恒成立，求b的取值范围【答案】解：（1）因为f(x)=en立＋x2-mx+t,则f'(x)=memx+2x-m,f(O)=t+L所以f'(O)=O,故切线方程为y=t+L所以t+l=L即t=0,故f(x)=emx+x2-mx,f'(x)=memx+Zx-m=m(emx-1)+Zx,若m兰0，则当xE(-oo,O)时，emx-l::;;O,f'(x)<0:当XE(0,+oo)时，emx-1~O,f'(x)>O,若mO,f'(x)0,综上，f(x)在(-oo,0)上单调递减，在(0,+oo)上单调递增；(2)设g(x)=f(2x)-f(-2x)-4b[f.(x)-f(-x)],化简可得g(x)=e2x-e丑x-4b(ex-e一x)+(8b-4)x,所以g'(x)=2[e2x+e-zx-2b(ex+e-x)+(4b-2))=2(ex+e一x-2)(ex+e-x-2b+2),＠当b::;;2时，g'(x)~o，当且仅当x=O时等号成一寸，所以g(x)在R上单调递增，而叭0)=0，所以对x>O时，g(x)>O,＠当b>2时，若x满足2<矿＋e-x<2b-2,即0

17f'(x)，对In进行分类讨论得出单调区间即可；(2)令g(x)=f(Zx)-f(-Zx)-4b[f(x)-f(-x)］，求出g'(x)，对b进行分类讨论，由g(x)的最小俏大千0得出b的取值范围即可．